Funkcja różnowartościowa
W matematyce funkcja iniekcyjna to funkcja f : A → B o następującej własności. Dla każdego elementu b w kodomenie B istnieje maksymalnie jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b.
Termin iniekcja oraz pokrewne mu terminy surjekcja i bijekcja zostały wprowadzone przez Nicholasa Bourbaki. W latach trzydziestych XX wieku wraz z grupą innych matematyków opublikował serię książek z zakresu nowoczesnej matematyki zaawansowanej.
Funkcja iniekcyjna jest często nazywana funkcją 1-1. Jednak korespondencja 1-1 jest funkcją bijective (zarówno injective i surjective). To jest mylące, więc bądź ostrożny.
Podstawowe właściwości
Formalnie:
f : A → B {styl f:A → B}
a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {displaystyle \dla wszystkich a_{1},
f : A → B {styl f:∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {displaystyle \ forall a_{1},\,a_{2},\ w A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}}}
Element a {styl a} 
nazywamy przedobrazem elementu b {styl b}, jeśli
f ( a ) = b {styl f(a)=b} 
każdego elementu b w B.
Kardynalność
Kardynalność to liczba elementów w zbiorze. Kardynalność zbioru A={X,Y,Z,W} wynosi 4. Zapisujemy #A=4.
- Jeśli kardynalność codomain jest mniejsza niż kardynalność domeny, funkcja nie może być wtryskiem. (Na przykład, nie ma sposobu, aby odwzorować 6 elementów na 5 elementów bez duplikatu).
Przykłady
Funkcje elementarne
Niech f(x):ℝ→ℝ będzie funkcją rzeczywistą y=f(x) o argumencie rzeczywistym x. (Oznacza to, że zarówno wejście jak i wyjście są liczbami rzeczywistymi).
- Znaczenie graficzne: Funkcja f jest iniekcją, jeśli każda prosta pozioma przecina wykres f w co najwyżej jednym punkcie.
- Znaczenie algebraiczne: Funkcja f jest iniekcją, jeśli f(xo)=f(x1) oznacza xo=x1.
Przykład: Funkcja liniowa prostej pochyłej ma postać 1-1. Czyli y=ax+b, gdzie a≠0 jest injekcją. (Jest to również surjekcja, a więc bijekcja).
Dowód: Niech xo i x1 będą liczbami rzeczywistymi. Załóżmy, że prosta odwzorowuje te dwie wartości x na tę samą wartość y. Oznacza to, że a-xo+b=a-x1+b. Odejmij b od obu stron. Otrzymujemy a-xo=a-x1. Teraz podziel obie strony przez a (pamiętaj a≠0). Otrzymujemy xo=x1. Udowodniliśmy więc formalną definicję i funkcję y=ax+b, gdzie a≠0 jest iniekcją.
Przykład: Funkcja wielomianowa trzeciego stopnia: f(x)=x3 jest iniekcją. Natomiast funkcja wielomianowa trzeciego stopnia: f(x)=x3 -3x nie jest iniekcją.
Dyskusja 1: Dowolna prosta pozioma przecina wykres
f(x)=x3 dokładnie raz. (Ponadto, jest to rzutowanie).
Dyskusja 2. Każda pozioma prosta pomiędzy y=-2 i y=2 przecina wykres w trzech punktach, więc ta funkcja nie jest iniekcją. (Jest to jednak surjekcja).
Przykład: Funkcja czworokątna f(x) = x2 nie jest iniekcją.
Dyskusja: Każda pozioma prosta y=c, gdzie c>0 przecina wykres w dwóch punktach. Zatem ta funkcja nie jest iniekcją. (Nie jest to również surjekcja).
Uwaga: Można przekształcić funkcję nieinjekcyjną w funkcję injekcyjną przez usunięcie części dziedziny. Nazywamy to ograniczeniem dziedziny. Na przykład, ograniczamy dziedzinę f(x)=x² do liczb nieujemnych (dodatnich i zera). Zdefiniuj
f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R { {displaystyle f_{/[0,+ ∞ )}(x):[0,+ ∞ )∞ } gdzie
f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 { {displaystyle f_{/[0,+infty )}(x)=x^{2}} 
Ta funkcja jest teraz iniekcją. (Zobacz również ograniczenie funkcji.)
Przykład: Funkcja wykładnicza f(x) = 10x jest iniekcją. (Nie jest to jednak surjekcja).
Dyskusja: Każda prosta pozioma przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie. Linie poziome y=c, gdzie c>0 przecinają wykres w dokładnie jednym punkcie. Linie poziome y=c, gdzie c≤0 nie przecinają wykresu w żadnym punkcie.
Uwaga: Fakt, że funkcja wykładnicza jest injekcyjna może być wykorzystany w obliczeniach.
a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {{displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}}, ^{prawoskrętna ^{0}=x_{1}}, ^{x_{1}}, a>0}. 
Przykład: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {displaystyle 100=10^{x-3} ⇒ 2=x-3 ⇒ rightarrow ⇒ x=5} 
| Wtrysk: żadna linia pozioma nie przecina więcej niż jednego punktu wykresu | ||
|
Iniekcja. f(x):ℝ→ℝ (i surjekcja) |
Iniekcja. f(x):ℝ→ℝ (i surjekcja) |
Nie jest iniekcją. f(x):ℝ→ℝ (jest surjekcją) |
|
Nie jest iniekcją. f(x):ℝ→ℝ (nie jest surjekcją) |
Iniekcja. f(x):ℝ→ℝ (nie surjekcja) |
Iniekcja. f(x):(0,+∞)→ℝ (i surjekcja) |
Inne przykłady
Przykład: Funkcja logarytmiczna o podstawie 10 f(x):(0,+∞)→ℝ określona przez f(x)=log(x) lub y=log10(x) jest iniekcją (i surjekcją). (Jest to funkcja odwrotna do funkcji 10x.)
Przykład: Funkcja f:ℕ→ℕ odwzorowująca każdą liczbę naturalną n na 2n jest iniekcją. Każda liczba parzysta ma dokładnie jeden obraz wstępny. Każda liczba nieparzysta nie ma swojego przedobrazu.
Powiązane strony
Pytania i odpowiedzi
P: Czym jest funkcja iniekcyjna w matematyce?
O: Funkcja iniekcyjna to funkcja f: A → B, której właściwością jest to, że różne elementy w dziedzinie odwzorowują się na różne elementy w dziedzinie kodowej.
P: Jaka jest relacja między elementami dziedziny i dziedziny kodowej funkcji iniekcyjnej?
O: Dla każdego elementu b w dziedzinie kodowej B istnieje co najwyżej jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b.
P: Kto wprowadził pojęcia iniekcji, suriekcji i bijekcji?
O: Nicholas Bourbaki i grupa innych matematyków wprowadzili pojęcia iniekcji, suriekcji i bijekcji.
P: Co oznacza funkcja iniekcyjna?
O: Funkcja iniekcyjna oznacza, że każdy element w dziedzinie A jest odwzorowywany na unikalny element w dziedzinie kodowej B.
P: Czym różni się funkcja iniekcyjna od korespondencji 1-1?
O: Funkcja iniekcyjna jest często nazywana funkcją 1-1 (jeden do jednego), ale różni się od korespondencji 1-1, która jest funkcją bijektywną (zarówno iniekcyjną, jak i surjektywną).
P: Jaka jest właściwość funkcji iniekcyjnej?
O: Właściwością funkcji iniekcyjnej jest to, że różne elementy w dziedzinie odwzorowują się na różne elementy w dziedzinie kodowej.
P: Jakie jest znaczenie funkcji iniekcyjnych w matematyce?
O: Funkcje iniekcyjne odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach matematyki, w tym w topologii, analizie i algebrze, ze względu na ich własność polegającą na mapowaniu odrębnych elementów w dziedzinie na odrębne elementy w dziedzinie kodowej.
