Przejdź do treści
Strona główna

Funkcja różnowartościowa (iniekcja) — definicja, własności i przykłady

Przegląd pojęcia funkcji różnowartościowej (iniekcji): formalna definicja, przykłady, metody badania, związki z odwrotnością i bijekcją oraz krótkie uwagi historyczne.

Autor: Utworzono: Zaktualizowano:

Przegląd i podstawowa definicja

Funkcja różnowartościowa, zwana też injekcją lub funkcją iniekcyjną, to odwzorowanie f: A → B o tej własności, że żaden element kodomeny B nie jest obrazem więcej niż jednego elementu dziedziny A. Innymi słowy, jeśli f(a1) = f(a2), to musi zachodzić a1 = a2. W potocznym języku mówi się o funkcji "1–1", choć sformułowanie to bywa mylące i warto rozróżniać je od pojęcia bijekcji (koiniekcji i surjekcji).

Formalne kryteria i typowe przykłady

Formalnie: f: A → B jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich a1, a2 ∈ A z równością f(a1) = f(a2) wynika a1 = a2. Przykłady: funkcja f(x)=2x z dziedziny liczb całkowitych ℤ w ℤ jest iniekcyjna; funkcja g(x)=x^2 z ℝ w ℝ nie jest iniekcyjna, ponieważ g(1)=g(−1). Dla ograniczonych dziedzin pewne odwzorowania, które na większej przestrzeni nie były iniekcjami, mogą stać się iniekcjami (np. x^2 ograniczone do [0,∞) jest iniekcją).

Własności, kryteria i konsekwencje

  • Lewy odwrotny: f jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja g: f(A) → A taka, że g∘f = id_A (istnieje lewy odwrotność).
  • Składanie: jeśli g∘f jest iniekcyjne, to f musi być iniekcyjne; przeciwnie nie zawsze jest prawdą.
  • Porównanie mocy zbiorów: dla zbiorów skończonych iniekcja f: A → B wymusza |A| ≤ |B|. W teorii mnogości iniekcje stosuje się do porównań kardynalności.
  • Testy praktyczne: dla funkcji rzeczywistych często używa się testu horyzontalnej prostej — jeśli żadna pozioma prosta nie przecina wykresu więcej niż raz, funkcja jest iniekcyjna.

Użyteczność i przykłady zastosowań

Iniekcje są istotne przy konstrukcji odwrotności: tylko iniekcja może mieć lewostronną odwrotność, a w połączeniu z surjekcją daje bijekcję z pełnym odwrotem. W algebrze i analizie iniekcyjne przekształcenia pozwalają przenieść strukturę z jednej przestrzeni do drugiej bez utraty informacji. W informatyce pojęcie iniekcji pojawia się w kontekście jednoznacznego kodowania lub haszowania (bez kolizji w określonym zbiorze). Dla porównań struktur i modelowania relacji między zbiorami iniekcje służą do formalnego zapisu "wstrzykiwania" jednego zbioru w drugi.

Historia i uwagi terminologiczne

Terminologia iniekcji, surjekcji i bijekcji została spopularyzowana w XX wieku m.in. przez grupę matematyczną związaną z pseudonimem Nicolas Bourbaki. W literaturze anglojęzycznej funkcji iniekcyjnej czasami używa się określenia "one-to-one", jednak należy pamiętać, że sformułowanie to nie oznacza automatycznie bijekcji — trzeba odróżnić jednoznaczność odwzorowania od pełnej na (surjekcji). Dalsze informacje można znaleźć w opracowaniach dotyczących teorii funkcji i teorii mnogości: injekcyjna, dziedzina i kodomena, surjekcja, bijekcja.

Wskazówki do dalszego czytania

Praktyczne zadania rozpoznawania iniekcji obejmują zarówno dowody formalne, jak i testy graficzne; warto ćwiczyć na przykładach funkcji wielomianowych, trygonometrycznych i wykładniczych. Zagadnienie to łączy się ściśle z teorią odwrotności funkcji, izomorfizmami w algebrze oraz problemami porównania mocy zbiorów w teorii mnogości.

Podstawowe właściwości

Formalnie:

f : A → B {styl f:A → B}{\displaystyle f:A\rightarrow B}a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {displaystyle \dla wszystkich a_{1},

f : A → B {styl f:∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {displaystyle \ forall a_{1},\,a_{2},\ w A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}}}{\displaystyle f:A\rightarrow B}{\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}}

Element a {styl a} anazywamy przedobrazem elementu b {styl b}, jeśli{\displaystyle b}f ( a ) = b {styl f(a)=b} {\displaystyle f(a)=b}każdego elementu b w B.

Kardynalność

Kardynalność to liczba elementów w zbiorze. Kardynalność zbioru A={X,Y,Z,W} wynosi 4. Zapisujemy #A=4.

  • Jeśli kardynalność codomain jest mniejsza niż kardynalność domeny, funkcja nie może być wtryskiem. (Na przykład, nie ma sposobu, aby odwzorować 6 elementów na 5 elementów bez duplikatu).

Przykłady

Funkcje elementarne

Niech f(x):ℝ→ℝ będzie funkcją rzeczywistą y=f(x) o argumencie rzeczywistym x. (Oznacza to, że zarówno wejście jak i wyjście są liczbami rzeczywistymi).

  • Znaczenie graficzne: Funkcja f jest iniekcją, jeśli każda prosta pozioma przecina wykres f w co najwyżej jednym punkcie.
  • Znaczenie algebraiczne: Funkcja f jest iniekcją, jeśli f(xo)=f(x1) oznacza xo=x1.

Przykład: Funkcja liniowa prostej pochyłej ma postać 1-1. Czyli y=ax+b, gdzie a≠0 jest injekcją. (Jest to również surjekcja, a więc bijekcja).

Dowód: Niech xo i x1 będą liczbami rzeczywistymi. Załóżmy, że prosta odwzorowuje te dwie wartości x na tę samą wartość y. Oznacza to, że a-xo+b=a-x1+b. Odejmij b od obu stron. Otrzymujemy a-xo=a-x1. Teraz podziel obie strony przez a (pamiętaj a≠0). Otrzymujemy xo=x1. Udowodniliśmy więc formalną definicję i funkcję y=ax+b, gdzie a≠0 jest iniekcją.

Przykład: Funkcja wielomianowa trzeciego stopnia: f(x)=x3 jest iniekcją. Natomiast funkcja wielomianowa trzeciego stopnia: f(x)=x3 -3x nie jest iniekcją.

Dyskusja 1: Dowolna prosta pozioma przecina wykres

f(x)=x3 dokładnie raz. (Ponadto, jest to rzutowanie).

Dyskusja 2. Każda pozioma prosta pomiędzy y=-2 i y=2 przecina wykres w trzech punktach, więc ta funkcja nie jest iniekcją. (Jest to jednak surjekcja).

Przykład: Funkcja czworokątna f(x) = x2 nie jest iniekcją.

Dyskusja: Każda pozioma prosta y=c, gdzie c>0 przecina wykres w dwóch punktach. Zatem ta funkcja nie jest iniekcją. (Nie jest to również surjekcja).

Uwaga: Można przekształcić funkcję nieinjekcyjną w funkcję injekcyjną przez usunięcie części dziedziny. Nazywamy to ograniczeniem dziedziny. Na przykład, ograniczamy dziedzinę f(x)=x² do liczb nieujemnych (dodatnich i zera). Zdefiniuj

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R { {displaystyle f_{/[0,+ ∞ )}(x):[0,+ ∞ )∞ } gdzie{\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} }f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 { {displaystyle f_{/[0,+infty )}(x)=x^{2}} {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}

Ta funkcja jest teraz iniekcją. (Zobacz również ograniczenie funkcji.)

Przykład: Funkcja wykładnicza f(x) = 10x jest iniekcją. (Nie jest to jednak surjekcja).

Dyskusja: Każda prosta pozioma przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie. Linie poziome y=c, gdzie c>0 przecinają wykres w dokładnie jednym punkcie. Linie poziome y=c, gdzie c≤0 nie przecinają wykresu w żadnym punkcie.

Uwaga: Fakt, że funkcja wykładnicza jest injekcyjna może być wykorzystany w obliczeniach.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {{displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}}, ^{prawoskrętna ^{0}=x_{1}}, ^{x_{1}}, a>0}.  {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}

Przykład: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {displaystyle 100=10^{x-3} ⇒ 2=x-3 ⇒ rightarrow ⇒ x=5}  {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5}

Wtrysk: żadna linia pozioma nie przecina więcej niż jednego punktu wykresu

Iniekcja. f(x):ℝ→ℝ (i surjekcja)

Iniekcja. f(x):ℝ→ℝ (i surjekcja)

Nie jest iniekcją. f(x):ℝ→ℝ (jest surjekcją)

Nie jest iniekcją. f(x):ℝ→ℝ (nie jest surjekcją)

Iniekcja. f(x):ℝ→ℝ (nie surjekcja)

Iniekcja. f(x):(0,+∞)→ℝ (i surjekcja)

Inne przykłady

Przykład: Funkcja logarytmiczna o podstawie 10 f(x):(0,+∞)→ℝ określona przez f(x)=log(x) lub y=log10(x) jest iniekcją (i surjekcją). (Jest to funkcja odwrotna do funkcji 10x.)

Przykład: Funkcja f:ℕ→ℕ odwzorowująca każdą liczbę naturalną n na 2n jest iniekcją. Każda liczba parzysta ma dokładnie jeden obraz wstępny. Każda liczba nieparzysta nie ma swojego przedobrazu.

Powiązane strony

Pytania i odpowiedzi

P: Czym jest funkcja iniekcyjna w matematyce?

O: Funkcja iniekcyjna to funkcja f: A → B, której właściwością jest to, że różne elementy w dziedzinie odwzorowują się na różne elementy w dziedzinie kodowej.

P: Jaka jest relacja między elementami dziedziny i dziedziny kodowej funkcji iniekcyjnej?

O: Dla każdego elementu b w dziedzinie kodowej B istnieje co najwyżej jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b.

P: Kto wprowadził pojęcia iniekcji, suriekcji i bijekcji?

O: Nicholas Bourbaki i grupa innych matematyków wprowadzili pojęcia iniekcji, suriekcji i bijekcji.

P: Co oznacza funkcja iniekcyjna?

O: Funkcja iniekcyjna oznacza, że każdy element w dziedzinie A jest odwzorowywany na unikalny element w dziedzinie kodowej B.

P: Czym różni się funkcja iniekcyjna od korespondencji 1-1?

O: Funkcja iniekcyjna jest często nazywana funkcją 1-1 (jeden do jednego), ale różni się od korespondencji 1-1, która jest funkcją bijektywną (zarówno iniekcyjną, jak i surjektywną).

P: Jaka jest właściwość funkcji iniekcyjnej?

O: Właściwością funkcji iniekcyjnej jest to, że różne elementy w dziedzinie odwzorowują się na różne elementy w dziedzinie kodowej.

P: Jakie jest znaczenie funkcji iniekcyjnych w matematyce?

O: Funkcje iniekcyjne odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach matematyki, w tym w topologii, analizie i algebrze, ze względu na ich własność polegającą na mapowaniu odrębnych elementów w dziedzinie na odrębne elementy w dziedzinie kodowej.

Powiązane artykuły

Autor

AlegsaOnline.com Funkcja różnowartościowa (iniekcja) — definicja, własności i przykłady

URL: https://pl.alegsaonline.com/art/47369

Udostępnij

Źródła