Funkcja „na”
W matematyce, surjektywna lub onto funkcja jest funkcją f : A → B z następującą własnością. Dla każdego elementu b w kodomenie B istnieje co najmniej jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b. Oznacza to, że zakres i współdziedzina funkcji f są tym samym zbiorem.
Termin surjekcja oraz pokrewne terminy wtrysk i bijekcja zostały wprowadzone przez grupę matematyków, która nazwała się Nicholas Bourbaki. W latach trzydziestych XX wieku ta grupa matematyków opublikowała serię książek na temat nowoczesnej zaawansowanej matematyki. Francuski przedrostek sur oznacza nad lub na i został wybrany, ponieważ funkcja surjektywna odwzorowuje swoją dziedzinę na swoją współdziedzinę.
Podstawowe właściwości
Formalnie:
f : A → B { {displaystyle f:A w B}
jest funkcją surjektywną, jeśli ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {displaystyle ∀ dla wszystkich b w B istnieje a w A} 
taka, że f ( a ) = b . {displaystyle f(a)=b,. } 
Element b {występujący w stylu b}
nazywamy obrazem elementu a {występujący w stylu a} 
.
- Definicja formalna oznacza: Każdy element kodomeny B jest obrazem co najmniej jednego elementu w domenie A.
Element a {występujący w stylu a} nazywamy przedobrazem elementu b {występujący w stylu b} .
- Definicja formalna oznacza: Każdy element kodomeny B ma co najmniej jeden przedobraz w domenie A.
Obraz wstępny nie musi być unikalny. Na górnym obrazku zarówno {X} jak i {Y} są przedobrazami elementu {1}. Ważne jest tylko, aby istniał co najmniej jeden przedobraz. (Zobacz też: Funkcja iniekcyjna, Funkcja bijekcyjna)
Przykłady
Funkcje elementarne
Niech f(x):ℝ→ℝ będzie funkcją rzeczywisto-wartościową y=f(x) o argumencie rzeczywisto-wartościowym x. (Oznacza to, że zarówno wejście jak i wyjście są liczbami).
- Znaczenie graficzne: Funkcja f jest surjekcją, jeśli każda prosta pozioma przecina wykres f w co najmniej jednym punkcie.
- Znaczenie analityczne: Funkcja f jest surjekcją, jeśli dla każdej liczby rzeczywistej yo możemy znaleźć co najmniej jedną liczbę rzeczywistą xo taką, że yo=f(xo).
Znalezienie przedobrazu xo dla danego yo jest równoważne obu pytaniom:
- Czy równanie f(x)-yo=0 ma rozwiązanie? lub
- Czy funkcja f(x)-yo ma pierwiastek?
W matematyce możemy znaleźć dokładne (analityczne) korzenie tylko wielomianów pierwszego, drugiego (i trzeciego) stopnia. Korzenie wszystkich innych funkcji znajdujemy w przybliżeniu (numerycznie). Oznacza to, że formalny dowód surjektywności rzadko jest bezpośredni. Dlatego poniższe dyskusje są nieformalne.
Przykład: Funkcja liniowa prostej pochyłej jest onto. Czyli y=ax+b, gdzie a≠0 jest surjekcją. (Jest również iniekcją, a więc bijekcją).
Dowód: Podstawiamy yo do funkcji i rozwiązujemy dla x. Ponieważ a≠0 otrzymujemy x= (yo-b)/a. Oznacza to, że xo=(yo-b)/a jest przedobrazem yo. To dowodzi, że funkcja y=ax+b gdzie a≠0 jest rzutowaniem. (Ponieważ istnieje dokładnie jeden przedobraz, funkcja ta jest również iniekcją).
Przykład praktyczny: y= -2x+4. Jaki jest przedobraz y=2? Rozwiązanie: Tutaj a= -2, czyli a≠0 i pytanie brzmi: Dla jakiego x jest y=2? Podstawiamy y=2 do funkcji. Otrzymujemy x=1, czyli y(1)=2. Zatem odpowiedź brzmi: x=1 jest przedobrazem y=2.
Przykład: Wielomian sześcienny (trzeciego stopnia) f(x)=x3-3x jest surjekcją.
Dyskusja: Równanie sześcienne x3-3x-yo=0 ma współczynniki rzeczywiste (a3=1, a2=0, a1=-3, a0=-yo). Każde takie równanie sześcienne ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Ponieważ dziedziną wielomianu jest ℝ, oznacza to, że w tej dziedzinie jest co najmniej jeden przedobraz xo. Czyli, (x0)3-3x0-yo=0. Zatem funkcja jest aproksymacją. (Jednakże, ta funkcja nie jest iniekcją. Na przykład, yo=2 ma 2 przedobrażenia: x=-1 i x=2. W rzeczywistości każdy y, -2≤y≤2 ma co najmniej 2 praobrazów).
Przykład: Funkcja czworokątna f(x) = x2 nie jest surjekcją. Nie istnieje x takie, że x2 = -1. Przedział x² to [0,+∞) , czyli zbiór liczb nieujemnych. (Również, ta funkcja nie jest iniekcją).
Uwaga: Można przekształcić funkcję niesurjektywną w funkcję surjektywną, ograniczając jej dziedzinę kodową do elementów jej przedziału. Na przykład, nowa funkcja, fN(x):ℝ → [0,+∞) gdzie fN(x) = x2 jest funkcją surjekcyjną. (To nie to samo, co ograniczenie funkcji, która ogranicza dziedzinę!).
Przykład: Funkcja wykładnicza f(x) = 10x nie jest surjekcją. Przedział 10x to (0,+∞), czyli zbiór liczb dodatnich. (Ta funkcja jest iniekcją.)
|
Surjekcja. f(x):ℝ→ℝ (i wstrzykiwanie) |
Surjekcja. f(x):ℝ→ℝ (nie jest injekcją) |
Nie jest to surjekcja. f(x):ℝ→ℝ (ani injekcja) |
|
Nie jest to surjekcja. f(x):ℝ→ℝ (ale jest injekcją) |
Surjekcja. f(x):(0,+∞)→ℝ (i injekcja) |
Surjekcja. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Na rysunku widać, że przedobrazem z=2 jest prosta y=2). |
Inne przykłady z funkcjami rzeczywisto-wartościowymi
Przykład: Funkcja logarytmiczna o podstawie 10 f(x):(0,+∞)→ℝ określona przez f(x)=log(x) lub y=log10(x) jest surjekcją (i iniekcją). (Jest to funkcja odwrotna do funkcji 10x.)
- Rzutowanie iloczynu kartezjańskiego A × B na jeden z jego czynników jest rzutowaniem.
Przykład: Funkcja f((x,y)):ℝ²→ℝ określona przez z=y jest surjekcją. Jej wykresem jest płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej. Przedobrazem z=zo jest prosta y=zo na płaszczyźnie x0y.
- W grach 3D, trójwymiarowa przestrzeń jest rzutowana na dwuwymiarowy ekran za pomocą surjection.
Powiązane strony
Pytania i odpowiedzi
P: Czym jest funkcja surjektywna w matematyce?
O: Funkcja surjektywna w matematyce to funkcja f: A → B o własności, że dla każdego elementu b w dziedzinie B istnieje co najmniej jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b.
P: Jakie jest znaczenie funkcji surjektywnej w matematyce?
O: Funkcja surjektywna zapewnia, że żaden element w dziedzinie kodowej nie jest niezamapowany oraz że zakres i dziedzina kodowa funkcji f są tym samym zbiorem.
P: Jakie jest pochodzenie terminu surjekcja?
O: Termin surjekcja został wprowadzony przez grupę matematyków o nazwie Nicholas Bourbaki.
P: Jakie jest znaczenie francuskiego przedrostka sur w wyrażeniu surjective?
O: Francuski przedrostek sur oznacza powyżej lub na.
P: Dlaczego dla tego rodzaju funkcji wybrano termin suriektywna?
O: Termin suriektywny został wybrany dla tego rodzaju funkcji, ponieważ funkcja suriektywna odwzorowuje swoją dziedzinę na swoją dziedzinę kodową.
P: Kto opublikował serię książek o nowoczesnej zaawansowanej matematyce w latach trzydziestych XX wieku?
O: Grupa matematyków o nazwie Nicholas Bourbaki opublikowała serię książek o nowoczesnej zaawansowanej matematyce w latach trzydziestych XX wieku.
P: Czym są iniekcja i bijekcja w matematyce?
O: Wstrzykiwanie i bijekcja są terminami pokrewnymi do surjekcji w matematyce. Funkcja wstrzykująca zapewnia, że żadne dwa elementy w dziedzinie nie odwzorowują się na ten sam element w dziedzinie kodowej. Funkcja bijekcji jest zarówno suriektywna, jak i iniektywna.
