Funkcje elementarne
Niech f(x):ℝ→ℝ będzie funkcją rzeczywisto-wartościową y=f(x) o argumencie rzeczywisto-wartościowym x. (Oznacza to, że zarówno wejście jak i wyjście są liczbami).
- Znaczenie graficzne: Funkcja f jest surjekcją, jeśli każda prosta pozioma przecina wykres f w co najmniej jednym punkcie.
- Znaczenie analityczne: Funkcja f jest surjekcją, jeśli dla każdej liczby rzeczywistej yo możemy znaleźć co najmniej jedną liczbę rzeczywistą xo taką, że yo=f(xo).
Znalezienie przedobrazu xo dla danego yo jest równoważne obu pytaniom:
- Czy równanie f(x)-yo=0 ma rozwiązanie? lub
- Czy funkcja f(x)-yo ma pierwiastek?
W matematyce możemy znaleźć dokładne (analityczne) korzenie tylko wielomianów pierwszego, drugiego (i trzeciego) stopnia. Korzenie wszystkich innych funkcji znajdujemy w przybliżeniu (numerycznie). Oznacza to, że formalny dowód surjektywności rzadko jest bezpośredni. Dlatego poniższe dyskusje są nieformalne.
Przykład: Funkcja liniowa prostej pochyłej jest onto. Czyli y=ax+b, gdzie a≠0 jest surjekcją. (Jest również iniekcją, a więc bijekcją).
Dowód: Podstawiamy yo do funkcji i rozwiązujemy dla x. Ponieważ a≠0 otrzymujemy x= (yo-b)/a. Oznacza to, że xo=(yo-b)/a jest przedobrazem yo. To dowodzi, że funkcja y=ax+b gdzie a≠0 jest rzutowaniem. (Ponieważ istnieje dokładnie jeden przedobraz, funkcja ta jest również iniekcją).
Przykład praktyczny: y= -2x+4. Jaki jest przedobraz y=2? Rozwiązanie: Tutaj a= -2, czyli a≠0 i pytanie brzmi: Dla jakiego x jest y=2? Podstawiamy y=2 do funkcji. Otrzymujemy x=1, czyli y(1)=2. Zatem odpowiedź brzmi: x=1 jest przedobrazem y=2.
Przykład: Wielomian sześcienny (trzeciego stopnia) f(x)=x3-3x jest surjekcją.
Dyskusja: Równanie sześcienne x3-3x-yo=0 ma współczynniki rzeczywiste (a3=1, a2=0, a1=-3, a0=-yo). Każde takie równanie sześcienne ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Ponieważ dziedziną wielomianu jest ℝ, oznacza to, że w tej dziedzinie jest co najmniej jeden przedobraz xo. Czyli, (x0)3-3x0-yo=0. Zatem funkcja jest aproksymacją. (Jednakże, ta funkcja nie jest iniekcją. Na przykład, yo=2 ma 2 przedobrażenia: x=-1 i x=2. W rzeczywistości każdy y, -2≤y≤2 ma co najmniej 2 praobrazów).
Przykład: Funkcja czworokątna f(x) = x2 nie jest surjekcją. Nie istnieje x takie, że x2 = -1. Przedział x² to [0,+∞) , czyli zbiór liczb nieujemnych. (Również, ta funkcja nie jest iniekcją).
Uwaga: Można przekształcić funkcję niesurjektywną w funkcję surjektywną, ograniczając jej dziedzinę kodową do elementów jej przedziału. Na przykład, nowa funkcja, fN(x):ℝ → [0,+∞) gdzie fN(x) = x2 jest funkcją surjekcyjną. (To nie to samo, co ograniczenie funkcji, która ogranicza dziedzinę!).
Przykład: Funkcja wykładnicza f(x) = 10x nie jest surjekcją. Przedział 10x to (0,+∞), czyli zbiór liczb dodatnich. (Ta funkcja jest iniekcją.)
| 
Surjekcja. f(x):ℝ→ℝ (i wstrzykiwanie) | 
Surjekcja. f(x):ℝ→ℝ (nie jest injekcją) | 
Nie jest to surjekcja. f(x):ℝ→ℝ (ani injekcja) |
| 
Nie jest to surjekcja. f(x):ℝ→ℝ (ale jest injekcją) | 
Surjekcja. f(x):(0,+∞)→ℝ (i injekcja) | 
Surjekcja. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Na rysunku widać, że przedobrazem z=2 jest prosta y=2). |
Inne przykłady z funkcjami rzeczywisto-wartościowymi
Przykład: Funkcja logarytmiczna o podstawie 10 f(x):(0,+∞)→ℝ określona przez f(x)=log(x) lub y=log10(x) jest surjekcją (i iniekcją). (Jest to funkcja odwrotna do funkcji 10x.)
- Rzutowanie iloczynu kartezjańskiego A × B na jeden z jego czynników jest rzutowaniem.
Przykład: Funkcja f((x,y)):ℝ²→ℝ określona przez z=y jest surjekcją. Jej wykresem jest płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej. Przedobrazem z=zo jest prosta y=zo na płaszczyźnie x0y.
- W grach 3D, trójwymiarowa przestrzeń jest rzutowana na dwuwymiarowy ekran za pomocą surjection.
