W matematyce, funkcja bijekcyjna lub bijekcja jest funkcją f : A → B, która jest zarówno wtryskiem jak i surjekcją. Oznacza to, że dla każdego elementu b w kodomenie B istnieje dokładnie jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b. Inną nazwą bijekcji jest korespondencja 1-1.

Termin bijekcja oraz pokrewne mu terminy surjekcja i iniekcja zostały wprowadzone przez Nicholasa Bourbaki. W latach trzydziestych XX wieku wraz z grupą innych matematyków opublikował serię książek z zakresu nowoczesnej matematyki zaawansowanej.

Własności i podstawowe fakty

  • Równoważność definicji: f jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno iniekcją (a1≠a2 ⇒ f(a1)≠f(a2)) jak i surjekcją (dla każdego b∈B istnieje a∈A z f(a)=b).
  • Odwrotność: Funkcja f:A→B jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja odwrotna f-1:B→A, spełniająca f-1(f(a))=a dla każdego a∈A oraz f(f-1(b))=b dla każdego b∈B. Taka odwrotność jest jednoznaczna.
  • Suma i złożenie: Złożenie dwóch bijekcji jest bijekcją. Odwrotność złożenia to złożenie odwrotności w odwrotnej kolejności: (g∘f)-1 = f-1 ∘ g-1.
  • Permutacje: Bijekcja z pewnego zbioru A na siebie (f:A→A) nazywana jest permutacją (gdy A jest skończony) lub bijekcją samodzielną — stanowi element grupy symetrycznej jeśli bierze się wszystkie takie bijekcje.
  • Kardynalność: Istnienie bijekcji między zbiorami A i B oznacza, że mają one tę samą moc (liczbę elementów) — mówi się, że są równoliczne. Dla zbiorów skończonych to prosty równa się liczba elementów; dla nieskończonych prowadzi to do pojęć przeliczalności i nieprzeliczalności.

Dowód (zarysy) ważnych twierdzeń

  • Bijekcja ⇔ istnienie odwrotności: Jeśli f jest bijekcją, to dla każdego b∈B istnieje dokładnie jedno a z f(a)=b. Zatem można zdefiniować f-1(b)=a, co daje funkcję odwrotną. Odwrotnie, jeśli istnieje g such that g∘f=idA i f∘g=idB, to f musi być zarówno injekcją (bo g∘f=idA zabrania zróżnicowanych a mieć tę samą wartość) jak i surjekcją (bo dla każdego b mamy f(g(b))=b).
  • Złożenie bijekcji jest bijekcją: Jeśli f i g są bijekcjami, to złożenie g∘f ma odwrotność f-1∘g-1, więc jest bijekcją.

Przykłady

  • Funkcje liniowe na zbiorze liczb rzeczywistych: f(x) = 2x definiuje bijekcję R → R (ma odwrotność f-1(y) = y/2). Również f(x) = x3 jest bijekcją R → R. Natomiast f(x) = x2 nie jest bijekcją na R (nie jest injekcyjna), ale staje się bijekcją, gdy ograniczymy dziedzinę do [0,∞) i kodomenę do [0,∞).
  • Bijekcja między N i Z (przeliczalność): Można skonstruować explicitną bijekcję f:N→Z np.
    • f(0)=0,
    • dla n≥1: jeśli n jest parzyste, niech f(n)= -n/2,
    • jeśli n jest nieparzyste, niech f(n)= (n+1)/2.
    Ta funkcja odwzorowuje kolejne liczby naturalne na ciąg 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ... i pokazuje, że zbiór liczb całkowitych jest przeliczalny (ma taką samą moc jak N).
  • Bijekcja między dwoma skończonymi zbiorami: Każde dwie skończone zbiory A i B o tej samej liczbie elementów n mają bijekcję między sobą (wystarczy dopasować elementy jeden do jednego).

Przykłady braku bijekcji

  • Funkcja f(x) = x2 na R nie jest injekcyjna (np. f(1)=f(−1)).
  • Inna funkcja, np. f: R→R, f(x) = ex, nie jest surjekcją na całe R (jej wartości to (0,∞)).

Zastosowania

  • W teorii zbiorów i analizie pojęcie bijekcji pozwala porównywać kardynalności zbiorów (np. wykazać przeliczalność lub jej brak).
  • W kombinatoryce i teorii grup permutacje (bijekcje zbioru na siebie) są podstawowym obiektem badań.
  • W kryptografii i informatyce stosuje się permutacje i odwracalne odwzorowania do projektowania szyfrów i algorytmów bezstratnego kodowania.

Uwagi końcowe

Bijekcja to wygodne narzędzie pozwalające formalnie mówić, że dwa zbiory mają „taką samą liczbę elementów”, także wtedy, gdy zbiory są nieskończone. W praktyce rozpoznawanie bijekcji i konstrukcja odwrotności są często prostymi, ale kluczowymi krokami w dowodach matematycznych oraz w zastosowaniach praktycznych.