Funkcja wzajemnie jednoznaczna

W matematyce, funkcja bijekcyjna lub bijekcja jest funkcją f : A → B, która jest zarówno wtryskiem jak i surjekcją. Oznacza to, że dla każdego elementu b w kodomenie B istnieje dokładnie jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b. Inną nazwą bijekcji jest korespondencja 1-1.

Termin bijekcja oraz pokrewne mu terminy surjekcja i iniekcja zostały wprowadzone przez Nicholasa Bourbaki. W latach trzydziestych XX wieku wraz z grupą innych matematyków opublikował serię książek z zakresu nowoczesnej matematyki zaawansowanej.

Podstawowe właściwości

Formalnie:

f : A → B { {displaystyle f:A w B} $f:A\rightarrow B$ b ∈ B {displaystyle \dla wszystkich b w B} $\forall b\in B$ istnieje unikalne a ∈ A {displaystyle a w A} $a\in A$ takie, że f ( a ) = b . {displaystyle f(a)=b,. } $f(a)=b\,.$

Element b {występujący w stylu b} $b$ nazywamy obrazem elementu a {występujący w stylu a} .

Definicja formalna oznacza: Każdy element kodomeny B jest obrazem dokładnie jednego elementu w domenie A.

Element a {występujący w stylu a} nazywamy przedobrazem elementu b {występujący w stylu b} $b$ .

Definicja formalna oznacza: Każdy element kodomeny B ma dokładnie jeden przedobraz w domenie A.

Uwaga: Wtrysk oznacza co najmniej jeden obraz wstępny. Wtrysk oznacza maksymalnie jeden obraz wstępny. Zatem bijekcja oznacza dokładnie jeden obraz wstępny.

Kardynalność

Kardynalność to liczba elementów w zbiorze. Kardynalność zbioru A={X,Y,Z,W} wynosi 4. Zapisujemy #A=4.

Definicja: Dwa zbiory A i B mają tę samą kardynalność, jeśli istnieje bijekcja między tymi zbiorami. Zatem #A=#B oznacza, że istnieje bijekcja z A do B.

Bijekcje i funkcje odwrotne

Funkcje bijekcji są odwracalne przez odwrócenie strzałek. Nowa funkcja nazywana jest funkcją odwrotną.

Formalnie: Niech f : A → B będzie bijekcją. Funkcja odwrotna g : B → A jest określona przez if f(a)=b, then g(b)=a. (Patrz też: Funkcja odwrotna.)

Funkcja odwrotna do funkcji odwrotnej jest funkcją oryginalną.
Funkcja ma swoją odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.

Uwaga: Notacja dla odwrotności funkcji f jest myląca. Mianowicie,

f - 1 ( x ) {{displaystyle f^{-1}(x)} $f^{-1}(x)$ oznacza funkcję odwrotną do funkcji f, natomiast x - 1 = 1 x {{displaystyle x^{-1}}={{displayrac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ oznacza wartość odwrotną liczby x.

Przykłady

Funkcje elementarne

Niech f(x):ℝ→ℝ będzie funkcją rzeczywisto-wartościową y=f(x) o argumencie rzeczywisto-wartościowym x. (Oznacza to, że zarówno wejście jak i wyjście są liczbami).

Znaczenie graficzne: Funkcja f jest bijekcją, jeśli każda prosta pozioma przecina wykres f dokładnie w jednym punkcie.
Znaczenie algebraiczne: Funkcja f jest bijekcją, jeśli dla każdej liczby rzeczywistej yo możemy znaleźć co najmniej jedną liczbę rzeczywistą xo taką, że yo=f(xo) oraz jeśli f(xo)=f(x1) oznacza xo=x1 .

Udowodnienie, że funkcja jest bijekcją oznacza udowodnienie, że jest ona zarówno surjekcją jak i injekcją. Tak więc formalne dowody rzadko są łatwe. Poniżej omawiamy i nie udowadniamy. (Zobacz surjekcja i wstrzyknięcie).

Przykład: Funkcja liniowa prostej pochyłej jest bijekcją. Czyli y=ax+b, gdzie a≠0 jest bijekcją.

Dyskusja: Każda linia pozioma przecina linię ukośną w dokładnie jednym punkcie (zobacz surjekcję i injekcję dla dowodów). Obraz 1.

Przykład: Funkcja wielomianowa trzeciego stopnia: f(x)=x3 jest bijekcją. Obraz 2 i obraz 5 cienka krzywa żółta. Jej odwrotnością jest funkcja pierwiastka sześciennego f(x)= ∛x i jest to również bijekcja f(x):ℝ→ℝ. Obraz 5: gruba zielona krzywa.

Przykład: Funkcja kwadratowa f(x) = x2 nie jest bijekcją (z ℝ→ℝ). Obraz 3. To nie jest surjekcja. Nie jest to iniekcja. Możemy jednak ograniczyć zarówno jej dziedzinę, jak i współdziedzinę do zbioru liczb nieujemnych (0,+∞), aby otrzymać (odwracalną) bijekcję (patrz przykłady poniżej).

Uwaga: Ostatni przykład to pokazuje. Aby stwierdzić, czy funkcja jest bijekcją, musimy wiedzieć trzy rzeczy:

dziedzina
maszyna funkcyjna
współdziedzina

Przykład: Załóżmy, że naszą maszyną funkcyjną jest f(x)=x².

Ta maszyna i domain=ℝ i codomain=ℝ nie jest surjekcją i nie jest iniekcją. Jednakże,
ta sama maszyna oraz domain=[0,+∞) i codomain=[0,+∞) jest zarówno surjection jak i injection, a więc bijection.

Bjekcje i ich odwrotności

Niech f(x):A→B gdzie A i B są podzbiorami ℝ.

Załóżmy, że f nie jest bijekcją. Dla dowolnego x, gdzie pochodna f istnieje i nie jest równa zero, istnieje takie otoczenie x, w którym możemy ograniczyć dziedzinę i współdziedzinę f tak, by były przecięciem.
Wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej y=x. (Zobacz też Funkcja odwrotna).

Przykład: Funkcja kwadratowa określona na dziedzinie ograniczonej i współdziedzinie [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) { {displaystyle f(x):[0 , + ∞ )} zdefiniowana przez $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2}}. $f(x)=x^{2}$

jest bijekcją. Obraz 6: cienka żółta krzywa.

Przykład: Funkcja pierwiastka kwadratowego określona na dziedzinie ograniczonej i współdziedzinie [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) { {displaystyle f(x):[0 , + ∞ )} zdefiniowana przez $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ f ( x ) = x {displaystyle f(x)={sqrt {x}}} $f(x)={\sqrt {x}}$

jest bijekcją zdefiniowaną jako funkcja odwrotna do funkcji kwadratowej: x2. Obraz 6: gruba zielona krzywa.

Przykład: Funkcja wykładnicza określona na dziedzinie ℝ i ograniczonej współdziedzinie (0,+∞)

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) { {displaystyle f(x):\mathbf {R} \\,(0, + \infty )} zdefiniowane przez $f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )$ f ( x ) = a x , a > 1 {displaystyle f(x)=a^{x} \,,a>1}. $f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1$

jest bijekcją. Obraz 4: cienka żółta krzywa (a=10).

Przykład: Podstawa funkcji logarytmicznej a zdefiniowana na dziedzinie ograniczonej (0,+∞) i współdziedzinie ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R { {displaystyle f(x):(0, + ∞ )\prawostronne {R} } zdefiniowane przez $f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}$ f ( x ) = log a x , a > 1 {displaystyle f(x)=log _{a}x \,,\,,a>1}. $f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1$

jest bijekcją zdefiniowaną jako odwrotność funkcji wykładniczej: ^ax. Obraz 4: gruba zielona krzywa (a=10).

Bijekcja: każda linia pionowa (w dziedzinie) i każda linia pozioma (w współdziedzinie) przecina dokładnie jeden punkt grafu.

1. Bijekcja. Wszystkie linie ukośne są bijekcjami f(x):ℝ→ℝ.

2. Bijekcja. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.

3. Nie jest bijekcją. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² nie jest surjekcją. To nie jest iniekcja.

4. Bijekcje. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (cienka żółta) i jej odwrotność f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (gruba zielona).

5. Bijekcje. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (cienka żółta) i jej odwrotność f(x)=∛x (gruba zielona).

6. Bijekcje. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (cienka żółta) i jej odwrotność f(x)=√x (gruba zielona).

Powiązane strony

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest funkcja bijektywna?

O: Funkcja bijektywna, znana również jako bijekcja, to funkcja matematyczna, która jest zarówno iniekcją, jak i suriekcją.

P: Co to znaczy, że funkcja jest iniekcją?

O: Wstrzykiwanie oznacza, że dla dowolnych dwóch elementów a i a' w dziedzinie A, jeśli f(a)=f(a'), to a=a'.

P: Co to znaczy, że funkcja jest surjekcją?

O: Surjection oznacza, że dla każdego elementu b w dziedzinie B istnieje co najmniej jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b.

P: Jakie jest równoważne twierdzenie dla bijekcji?

O: Równoważnym twierdzeniem dla bijekcji jest to, że dla każdego elementu b w dziedzinie kodowej B, istnieje dokładnie jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b.

P: Jaka jest inna nazwa bijekcji?

O: Bijekcja jest również znana jako "korespondencja 1-1" lub "korespondencja jeden-do-jednego".

P: Kto wprowadził pojęcia bijekcji, surjekcji i iniekcji?

O: Terminy bijekcja, surjekcja i iniekcja zostały wprowadzone przez Nicolasa Bourbaki i grupę innych matematyków w latach trzydziestych XX wieku.

P: Co Bourbaki i inni matematycy opublikowali w latach trzydziestych XX wieku?

O: Bourbaki i inni matematycy opublikowali serię książek na temat nowoczesnej, zaawansowanej matematyki.