Przejdź do treści
Strona główna

Funkcja bijekcyjna (bijekcja) — definicja, przykłady i własności

Funkcja bijekcyjna — przejrzysta definicja, praktyczne przykłady i kluczowe własności. Naucz się rozpoznawać bijekcję krok po kroku.

Autor: Utworzono: Zaktualizowano:

W matematyce, funkcja bijekcyjna lub bijekcja jest funkcją f : A → B, która jest zarówno wtryskiem jak i surjekcją. Oznacza to, że dla każdego elementu b w kodomenie B istnieje dokładnie jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b. Inną nazwą bijekcji jest korespondencja 1-1.

Termin bijekcja oraz pokrewne mu terminy surjekcja i iniekcja zostały wprowadzone przez Nicholasa Bourbaki. W latach trzydziestych XX wieku wraz z grupą innych matematyków opublikował serię książek z zakresu nowoczesnej matematyki zaawansowanej.

Galeria obrazów

1 Obraz
File:A_bijection_from_N_to_Z.png
en.wikipedia.org · CC BY-SA 4.0

Własności i podstawowe fakty

  • Równoważność definicji: f jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno iniekcją (a1≠a2 ⇒ f(a1)≠f(a2)) jak i surjekcją (dla każdego b∈B istnieje a∈A z f(a)=b).
  • Odwrotność: Funkcja f:A→B jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja odwrotna f-1:B→A, spełniająca f-1(f(a))=a dla każdego a∈A oraz f(f-1(b))=b dla każdego b∈B. Taka odwrotność jest jednoznaczna.
  • Suma i złożenie: Złożenie dwóch bijekcji jest bijekcją. Odwrotność złożenia to złożenie odwrotności w odwrotnej kolejności: (g∘f)-1 = f-1 ∘ g-1.
  • Permutacje: Bijekcja z pewnego zbioru A na siebie (f:A→A) nazywana jest permutacją (gdy A jest skończony) lub bijekcją samodzielną — stanowi element grupy symetrycznej jeśli bierze się wszystkie takie bijekcje.
  • Kardynalność: Istnienie bijekcji między zbiorami A i B oznacza, że mają one tę samą moc (liczbę elementów) — mówi się, że są równoliczne. Dla zbiorów skończonych to prosty równa się liczba elementów; dla nieskończonych prowadzi to do pojęć przeliczalności i nieprzeliczalności.

Dowód (zarysy) ważnych twierdzeń

  • Bijekcja ⇔ istnienie odwrotności: Jeśli f jest bijekcją, to dla każdego b∈B istnieje dokładnie jedno a z f(a)=b. Zatem można zdefiniować f-1(b)=a, co daje funkcję odwrotną. Odwrotnie, jeśli istnieje g such that g∘f=idA i f∘g=idB, to f musi być zarówno injekcją (bo g∘f=idA zabrania zróżnicowanych a mieć tę samą wartość) jak i surjekcją (bo dla każdego b mamy f(g(b))=b).
  • Złożenie bijekcji jest bijekcją: Jeśli f i g są bijekcjami, to złożenie g∘f ma odwrotność f-1∘g-1, więc jest bijekcją.

Przykłady

  • Funkcje liniowe na zbiorze liczb rzeczywistych: f(x) = 2x definiuje bijekcję R → R (ma odwrotność f-1(y) = y/2). Również f(x) = x3 jest bijekcją R → R. Natomiast f(x) = x2 nie jest bijekcją na R (nie jest injekcyjna), ale staje się bijekcją, gdy ograniczymy dziedzinę do [0,∞) i kodomenę do [0,∞).
  • Bijekcja między N i Z (przeliczalność): Można skonstruować explicitną bijekcję f:N→Z np.
    • f(0)=0,
    • dla n≥1: jeśli n jest parzyste, niech f(n)= -n/2,
    • jeśli n jest nieparzyste, niech f(n)= (n+1)/2.
    Ta funkcja odwzorowuje kolejne liczby naturalne na ciąg 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ... i pokazuje, że zbiór liczb całkowitych jest przeliczalny (ma taką samą moc jak N).
  • Bijekcja między dwoma skończonymi zbiorami: Każde dwie skończone zbiory A i B o tej samej liczbie elementów n mają bijekcję między sobą (wystarczy dopasować elementy jeden do jednego).

Przykłady braku bijekcji

  • Funkcja f(x) = x2 na R nie jest injekcyjna (np. f(1)=f(−1)).
  • Inna funkcja, np. f: R→R, f(x) = ex, nie jest surjekcją na całe R (jej wartości to (0,∞)).

Zastosowania

  • W teorii zbiorów i analizie pojęcie bijekcji pozwala porównywać kardynalności zbiorów (np. wykazać przeliczalność lub jej brak).
  • W kombinatoryce i teorii grup permutacje (bijekcje zbioru na siebie) są podstawowym obiektem badań.
  • W kryptografii i informatyce stosuje się permutacje i odwracalne odwzorowania do projektowania szyfrów i algorytmów bezstratnego kodowania.

Uwagi końcowe

Bijekcja to wygodne narzędzie pozwalające formalnie mówić, że dwa zbiory mają „taką samą liczbę elementów”, także wtedy, gdy zbiory są nieskończone. W praktyce rozpoznawanie bijekcji i konstrukcja odwrotności są często prostymi, ale kluczowymi krokami w dowodach matematycznych oraz w zastosowaniach praktycznych.

Podstawowe właściwości

Formalnie:

f : A → B { {displaystyle f:A w B}{\displaystyle f:A\rightarrow B}b ∈ B {displaystyle \dla wszystkich b w B} {\displaystyle \forall b\in B}istnieje unikalne a ∈ A {displaystyle a w A} {\displaystyle a\in A}takie, że f ( a ) = b . {displaystyle f(a)=b,. } {\displaystyle f(a)=b\,.}

Element b {występujący w stylu b}{\displaystyle b} nazywamy obrazem elementu a {występujący w stylu a} a.

  • Definicja formalna oznacza: Każdy element kodomeny B jest obrazem dokładnie jednego elementu w domenie A.

Element a {występujący w stylu a}a nazywamy przedobrazem elementu b {występujący w stylu b} {\displaystyle b}.

  • Definicja formalna oznacza: Każdy element kodomeny B ma dokładnie jeden przedobraz w domenie A.

Uwaga: Wtrysk oznacza co najmniej jeden obraz wstępny. Wtrysk oznacza maksymalnie jeden obraz wstępny. Zatem bijekcja oznacza dokładnie jeden obraz wstępny.

Kardynalność

Kardynalność to liczba elementów w zbiorze. Kardynalność zbioru A={X,Y,Z,W} wynosi 4. Zapisujemy #A=4.

  • Definicja: Dwa zbiory A i B mają tę samą kardynalność, jeśli istnieje bijekcja między tymi zbiorami. Zatem #A=#B oznacza, że istnieje bijekcja z A do B.

Bijekcje i funkcje odwrotne

  • Funkcje bijekcji są odwracalne przez odwrócenie strzałek. Nowa funkcja nazywana jest funkcją odwrotną.

Formalnie: Niech f : A → B będzie bijekcją. Funkcja odwrotna g : B → A jest określona przez if f(a)=b, then g(b)=a. (Patrz też: Funkcja odwrotna.)

  • Funkcja odwrotna do funkcji odwrotnej jest funkcją oryginalną.
  • Funkcja ma swoją odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.

Uwaga: Notacja dla odwrotności funkcji f jest myląca. Mianowicie,

  f - 1 ( x ) {{displaystyle f^{-1}(x)}{\displaystyle f^{-1}(x)}oznacza funkcję odwrotną do funkcji f, natomiast x - 1 = 1 x {{displaystyle x^{-1}}={{displayrac {1}{x}}}{\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} oznacza wartość odwrotną liczby x.

Przykłady

Funkcje elementarne

Niech f(x):ℝ→ℝ będzie funkcją rzeczywisto-wartościową y=f(x) o argumencie rzeczywisto-wartościowym x. (Oznacza to, że zarówno wejście jak i wyjście są liczbami).

  • Znaczenie graficzne: Funkcja f jest bijekcją, jeśli każda prosta pozioma przecina wykres f dokładnie w jednym punkcie.
  • Znaczenie algebraiczne: Funkcja f jest bijekcją, jeśli dla każdej liczby rzeczywistej yo możemy znaleźć co najmniej jedną liczbę rzeczywistą xo taką, że yo=f(xo) oraz jeśli f(xo)=f(x1) oznacza xo=x1 .

Udowodnienie, że funkcja jest bijekcją oznacza udowodnienie, że jest ona zarówno surjekcją jak i injekcją. Tak więc formalne dowody rzadko są łatwe. Poniżej omawiamy i nie udowadniamy. (Zobacz surjekcja i wstrzyknięcie).

Przykład: Funkcja liniowa prostej pochyłej jest bijekcją. Czyli y=ax+b, gdzie a≠0 jest bijekcją.

Dyskusja: Każda linia pozioma przecina linię ukośną w dokładnie jednym punkcie (zobacz surjekcję i injekcję dla dowodów). Obraz 1.

Przykład: Funkcja wielomianowa trzeciego stopnia: f(x)=x3 jest bijekcją. Obraz 2 i obraz 5 cienka krzywa żółta. Jej odwrotnością jest funkcja pierwiastka sześciennego f(x)= ∛x i jest to również bijekcja f(x):ℝ→ℝ. Obraz 5: gruba zielona krzywa.

Przykład: Funkcja kwadratowa f(x) = x2 nie jest bijekcją (z ℝ→ℝ). Obraz 3. To nie jest surjekcja. Nie jest to iniekcja. Możemy jednak ograniczyć zarówno jej dziedzinę, jak i współdziedzinę do zbioru liczb nieujemnych (0,+∞), aby otrzymać (odwracalną) bijekcję (patrz przykłady poniżej).

Uwaga: Ostatni przykład to pokazuje. Aby stwierdzić, czy funkcja jest bijekcją, musimy wiedzieć trzy rzeczy:

  • dziedzina
  • maszyna funkcyjna
  • współdziedzina

Przykład: Załóżmy, że naszą maszyną funkcyjną jest f(x)=x².

  • Ta maszyna i domain=ℝ i codomain=ℝ nie jest surjekcją i nie jest iniekcją. Jednakże,
  • ta sama maszyna oraz domain=[0,+∞) i codomain=[0,+∞) jest zarówno surjection jak i injection, a więc bijection.

Bjekcje i ich odwrotności

Niech f(x):A→B gdzie A i B są podzbiorami ℝ.

  • Załóżmy, że f nie jest bijekcją. Dla dowolnego x, gdzie pochodna f istnieje i nie jest równa zero, istnieje takie otoczenie x, w którym możemy ograniczyć dziedzinę i współdziedzinę f tak, by były przecięciem.
  • Wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej y=x. (Zobacz też Funkcja odwrotna).

Przykład: Funkcja kwadratowa określona na dziedzinie ograniczonej i współdziedzinie [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) { {displaystyle f(x):[0 , + ∞ )} zdefiniowana przez{\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2}}. {\displaystyle f(x)=x^{2}}

jest bijekcją. Obraz 6: cienka żółta krzywa.

Przykład: Funkcja pierwiastka kwadratowego określona na dziedzinie ograniczonej i współdziedzinie [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) { {displaystyle f(x):[0 , + ∞ )} zdefiniowana przez{\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}f ( x ) = x {displaystyle f(x)={sqrt {x}}} {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

jest bijekcją zdefiniowaną jako funkcja odwrotna do funkcji kwadratowej: x2. Obraz 6: gruba zielona krzywa.

Przykład: Funkcja wykładnicza określona na dziedzinie ℝ i ograniczonej współdziedzinie (0,+∞)

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) { {displaystyle f(x):\mathbf {R} \\,(0, + \infty )} zdefiniowane przez{\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )}f ( x ) = a x , a > 1 {displaystyle f(x)=a^{x} \,,a>1}. {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1}

jest bijekcją. Obraz 4: cienka żółta krzywa (a=10).

Przykład: Podstawa funkcji logarytmicznej a zdefiniowana na dziedzinie ograniczonej (0,+∞) i współdziedzinie ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R { {displaystyle f(x):(0, + ∞ )\prawostronne {R} } zdefiniowane przez{\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R} }f ( x ) = log a x , a > 1 {displaystyle f(x)=log _{a}x \,,\,,a>1}. {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1}

jest bijekcją zdefiniowaną jako odwrotność funkcji wykładniczej: ax. Obraz 4: gruba zielona krzywa (a=10).

Bijekcja: każda linia pionowa (w dziedzinie) i każda linia pozioma (w współdziedzinie) przecina dokładnie jeden punkt grafu.

1. Bijekcja. Wszystkie linie ukośne są bijekcjami f(x):ℝ→ℝ.

2. Bijekcja. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.

3. Nie jest bijekcją. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² nie jest surjekcją. To nie jest iniekcja.

4. Bijekcje. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (cienka żółta) i jej odwrotność f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (gruba zielona).

5. Bijekcje. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (cienka żółta) i jej odwrotność f(x)=∛x (gruba zielona).

6. Bijekcje. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (cienka żółta) i jej odwrotność f(x)=√x (gruba zielona).

Powiązane strony

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest funkcja bijektywna?

O: Funkcja bijektywna, znana również jako bijekcja, to funkcja matematyczna, która jest zarówno iniekcją, jak i suriekcją.

P: Co to znaczy, że funkcja jest iniekcją?

O: Wstrzykiwanie oznacza, że dla dowolnych dwóch elementów a i a' w dziedzinie A, jeśli f(a)=f(a'), to a=a'.

P: Co to znaczy, że funkcja jest surjekcją?

O: Surjection oznacza, że dla każdego elementu b w dziedzinie B istnieje co najmniej jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b.

P: Jakie jest równoważne twierdzenie dla bijekcji?

O: Równoważnym twierdzeniem dla bijekcji jest to, że dla każdego elementu b w dziedzinie kodowej B, istnieje dokładnie jeden element a w dziedzinie A taki, że f(a)=b.

P: Jaka jest inna nazwa bijekcji?

O: Bijekcja jest również znana jako "korespondencja 1-1" lub "korespondencja jeden-do-jednego".

P: Kto wprowadził pojęcia bijekcji, surjekcji i iniekcji?

O: Terminy bijekcja, surjekcja i iniekcja zostały wprowadzone przez Nicolasa Bourbaki i grupę innych matematyków w latach trzydziestych XX wieku.

P: Co Bourbaki i inni matematycy opublikowali w latach trzydziestych XX wieku?

O: Bourbaki i inni matematycy opublikowali serię książek na temat nowoczesnej, zaawansowanej matematyki.

Powiązane artykuły

Autor

AlegsaOnline.com Funkcja bijekcyjna (bijekcja) — definicja, przykłady i własności

URL: https://pl.alegsaonline.com/art/11405

Udostępnij

Źródła
  • mathworld.wolfram.com : "Bijective function"
  • web.cortland.edu : "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Bijection"
  • jeff560.tripod.com : "Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics"
  • proofwiki.org : "Inverse of Bijection is Bijection"
  • proofwiki.org : "Injection iff Left Inverse"
  • proofwiki.org : "Surjection iff Right Inverse"
  • proofwiki.org : "Bijection iff Left and Right Inverse"