Geometria hiperboliczna

Linie nie przecinające się

Ciekawa własność geometrii hiperbolicznej wynika z występowania więcej niż jednej prostej równoległej przechodzącej przez punkt P: istnieją dwie klasy prostych nie przecinających się. Niech B będzie takim punktem na l, że prosta PB jest prostopadła do l. Rozważmy prostą x przechodzącą przez P taką, że x nie przecina l, a kąt θ między PB i x przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od PB jest możliwie mały; tzn. każdy mniejszy kąt zmusi prostą do przecięcia l. W geometrii hiperbolicznej taką prostą nazywamy prostą asymptotyczną. Symetrycznie, prosta y, która tworzy ten sam kąt θ między PB a sobą, ale zgodnie z ruchem wskazówek zegara od PB, również będzie asymptotyczna. x i y są jedynymi dwiema prostymi asymptotycznymi do l przez P. Wszystkie inne proste przez P nie przecinające l, o kątach większych niż θ z PB, nazywamy ultra równoległymi (lub rozłącznie równoległymi) do l. Zauważmy, że skoro istnieje nieskończenie wiele możliwych kątów pomiędzy θ a 90 stopni, a każdy z nich wyznaczy dwie proste przechodzące przez P i rozłącznie równoległe do l, to istnieje nieskończenie wiele prostych ultrarównoległych.

Mamy więc tę zmodyfikowaną postać postulatu równoległości: W geometrii hiperbolicznej, biorąc pod uwagę dowolną prostą l, oraz punkt P nie leżący na l, istnieją dokładnie dwie proste przechodzące przez P, które są asymptotyczne do l, oraz nieskończenie wiele prostych przechodzących przez P ultra równoległych do l.

Różnice między tymi typami linii można też rozpatrywać w następujący sposób: odległość między liniami asymptotycznymi w jednym kierunku dąży do zera, a w drugim rośnie bez ograniczeń; odległość między liniami ultrarównoległymi rośnie w obu kierunkach. Twierdzenie o ultra równoległych mówi, że istnieje jedyna linia na płaszczyźnie hiperbolicznej, która jest prostopadła do każdej z danej pary linii ultra równoległych.

W geometrii euklidesowej kąt równoległości jest stałą, to znaczy, że każda odległość ‖ B P ‖ między prostymi równoległymi daje kąt równoległości równy 90°. W geometrii hiperbolicznej kąt równoległości zmienia się za pomocą funkcji Π ( p ) {displaystyle \Pi (p)}. Funkcja ta, opisana przez Nikołaja Iwanowicza Łobaczewskiego, daje niepowtarzalny kąt równoległości dla każdej odległości p = ‖ B P ‖ {displaystyle p= ‖Vert BP ‖rVert } . . Wraz ze zmniejszaniem się odległości Π ( p ) {displaystyle \Pi (p)} zbliża się do 90°, natomiast wraz ze wzrostem odległości Π ( p ) {displaystyle \Pi (p)} zbliża się do 0°. Tak więc, w miarę zmniejszania się odległości, płaszczyzna hiperboliczna zachowuje się coraz bardziej jak geometria euklidesowa. W istocie, na małych skalach w porównaniu do 1 - K {displaystyle {frac {1}{sqrt {-K}}}} gdzie K {displaystyle K } jest (stałą) gaussowską krzywizną płaszczyzny, obserwator miałby problem z określeniem, czy znajduje się na płaszczyźnie euklidesowej czy hiperbolicznej.

Historia

Próby udowodnienia postulatu równoległości podejmowało wielu geometrów, między innymi Omar Khayyám, a później Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert i Legendre. Ich próby zakończyły się niepowodzeniem, ale ich wysiłki dały początek geometrii hiperbolicznej. Twierdzenia Alhacena, Khayyama o czworokątach, były pierwszymi twierdzeniami geometrii hiperbolicznej. Ich prace nad geometrią hiperboliczną miały wpływ na jej rozwój wśród późniejszych geometrów europejskich, m.in. Witelo, Alfonsa i Johna Wallisa.

W XIX wieku geometria hiperboliczna była badana przez Jánosa Bolyaia i Nikolaia Ivanovicha Lobachevsky'ego, od którego nazwiska bywa nazywana. Lobachevsky opublikował w 1830 roku, podczas gdy Bolyai niezależnie odkrył ją i opublikował w 1832 roku. Karl Friedrich Gauss również badał geometrię hiperboliczną, opisując w liście do Taurinusa z 1824, że ją skonstruował, ale nie opublikował swojej pracy. W 1868 Eugenio Beltrami dostarczył jej modele i użył tego do udowodnienia, że geometria hiperboliczna jest spójna, jeśli geometria euklidesowa jest.

Termin "geometria hiperboliczna" został wprowadzony przez Felixa Kleina w 1871 roku. Więcej historii można znaleźć w artykule o geometrii nieeuklidesowej.

Modele płaszczyzny hiperbolicznej

Istnieją trzy modele powszechnie stosowane w geometrii hiperbolicznej: model Kleina, model dysku Poincarégo i model Lorentza, czyli model hiperboloidy. Modele te definiują rzeczywistą przestrzeń hiperboliczną, która spełnia aksjomaty geometrii hiperbolicznej. Pomimo nazewnictwa, dwa modele dyskowe i model półpłaszczyznowy zostały wprowadzone jako modele przestrzeni hiperbolicznej przez Beltramiego, a nie przez Poincarégo czy Kleina.

1. Model Kleina, znany również jako model dysku projekcyjnego i model Beltrami-Kleina, używa wnętrza okręgu jako płaszczyzny hiperbolicznej, a cięciw okręgu jako linii.
2. Model półpłaszczyzny Poincarégo przyjmuje jedną połowę płaszczyzny euklidesowej, wyznaczonej przez linię euklidesową B, za płaszczyznę hiperboliczną (sama B nie jest uwzględniona).
• Linie hiperboliczne są wtedy albo półokręgami ortogonalnymi do B, albo promieniami prostopadłymi do B.
• Oba modele Poincarégo zachowują kąty hiperboliczne, a więc są konformalne. Wszystkie izometrie w tych modelach są więc przekształceniami Möbiusa.
• Model półpłaszczyznowy jest identyczny (na granicy) z modelem dysku Poincarégo na krawędzi dysku
• Model ten ma bezpośrednie zastosowanie w szczególnej teorii względności, ponieważ trójprzestrzeń Minkowskiego jest modelem czasoprzestrzeni, w którym pominięto jeden wymiar przestrzenny. Można przyjąć, że hiperboloida reprezentuje zdarzenia, które różni poruszający się obserwatorzy, rozchodzący się promieniście w płaszczyźnie przestrzennej z jednego punktu, osiągną w ustalonym czasie właściwym. Hiperboliczna odległość pomiędzy dwoma punktami na hiperboloidzie może być utożsamiana z prędkością względną pomiędzy dwoma obserwatorami.

Model tarczy Poincarégo wielkiej romboidalnej kafelki {3,7}

Wizualizacja geometrii hiperbolicznej

M. C. Eschera słynne grafiki Circle Limit III i Circle Limit IV dość dobrze ilustrują konforemny model dysku. Na obu widać geodezy. (W III białe linie to nie geodezy, ale hipercykle, które biegną obok nich). Można też dość wyraźnie dostrzec ujemną krzywiznę płaszczyzny hiperbolicznej, poprzez jej wpływ na sumę kątów w trójkątach i kwadratach.

Na płaszczyźnie euklidesowej ich kąty wynosiłyby 450°, czyli koło i ćwiartka. Z tego widzimy, że suma kątów trójkąta na płaszczyźnie hiperbolicznej musi być mniejsza niż 180°. Inną widoczną własnością jest wzrost wykładniczy. W Circle Limit IV, na przykład, można zobaczyć, że liczba aniołów i demonów w odległości n od centrum rośnie wykładniczo. Demony mają równe pole powierzchni hiperboli, więc pole powierzchni kuli o promieniu n musi rosnąć wykładniczo w n.

Istnieje kilka sposobów na fizyczną realizację płaszczyzny hiperbolicznej (lub jej aproksymacji). Szczególnie znany papierowy model oparty na pseudosferze jest dziełem Williama Thurstona. Sztuka szydełkowania została użyta do zademonstrowania płaszczyzn hiperbolicznych, a pierwsza z nich została wykonana przez Dainę Taiminę. W 2000 r. Keith Henderson zademonstrował szybki do wykonania papierowy model nazwany "hiperboliczną piłką nożną".

Kolekcja szydełkowanych płaszczyzn hiperbolicznych, imitujących rafę koralową, stworzona przez Institute For Figuring