Ciekawa własność geometrii hiperbolicznej wynika z występowania więcej niż jednej prostej równoległej przechodzącej przez punkt P: istnieją dwie klasy prostych nie przecinających się. Niech B będzie takim punktem na l, że prosta PB jest prostopadła do l. Rozważmy prostą x przechodzącą przez P taką, że x nie przecina l, a kąt θ między PB i x przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od PB jest możliwie mały; tzn. każdy mniejszy kąt zmusi prostą do przecięcia l. W geometrii hiperbolicznej taką prostą nazywamy prostą asymptotyczną. Symetrycznie, prosta y, która tworzy ten sam kąt θ między PB a sobą, ale zgodnie z ruchem wskazówek zegara od PB, również będzie asymptotyczna. x i y są jedynymi dwiema prostymi asymptotycznymi do l przez P. Wszystkie inne proste przez P nie przecinające l, o kątach większych niż θ z PB, nazywamy ultra równoległymi (lub rozłącznie równoległymi) do l. Zauważmy, że skoro istnieje nieskończenie wiele możliwych kątów pomiędzy θ a 90 stopni, a każdy z nich wyznaczy dwie proste przechodzące przez P i rozłącznie równoległe do l, to istnieje nieskończenie wiele prostych ultrarównoległych.
Mamy więc tę zmodyfikowaną postać postulatu równoległości: W geometrii hiperbolicznej, biorąc pod uwagę dowolną prostą l, oraz punkt P nie leżący na l, istnieją dokładnie dwie proste przechodzące przez P, które są asymptotyczne do l, oraz nieskończenie wiele prostych przechodzących przez P ultra równoległych do l.
Różnice między tymi typami linii można też rozpatrywać w następujący sposób: odległość między liniami asymptotycznymi w jednym kierunku dąży do zera, a w drugim rośnie bez ograniczeń; odległość między liniami ultrarównoległymi rośnie w obu kierunkach. Twierdzenie o ultra równoległych mówi, że istnieje jedyna linia na płaszczyźnie hiperbolicznej, która jest prostopadła do każdej z danej pary linii ultra równoległych.
W geometrii euklidesowej kąt równoległości jest stałą, to znaczy, że każda odległość ‖ B P ‖ 
między prostymi równoległymi daje kąt równoległości równy 90°. W geometrii hiperbolicznej kąt równoległości zmienia się za pomocą 
funkcji Π ( p ) {displaystyle \Pi (p)}. Funkcja ta, opisana przez Nikołaja Iwanowicza Łobaczewskiego, daje niepowtarzalny kąt równoległości dla każdej odległości p = ‖ B P ‖ {displaystyle p= ‖Vert BP ‖rVert } . 
. Wraz ze zmniejszaniem się odległości Π ( p ) {displaystyle \Pi (p)} zbliża się do 90°, natomiast wraz ze wzrostem odległości Π ( p ) {displaystyle \Pi (p)} zbliża się do 0°. Tak więc, w miarę zmniejszania się odległości, płaszczyzna hiperboliczna zachowuje się coraz bardziej jak geometria euklidesowa. W istocie, na małych skalach w porównaniu do 1 - K {displaystyle {frac {1}{sqrt {-K}}}} 
gdzie K {displaystyle K } 
jest (stałą) gaussowską krzywizną płaszczyzny, obserwator miałby problem z określeniem, czy znajduje się na płaszczyźnie euklidesowej czy hiperbolicznej.
