Przestrzeń Hilberta
Przestrzeń Hilberta jest pojęciem matematycznym obejmującym pozawymiarowe wykorzystanie przestrzeni euklidesowej - tzn. przestrzeni o więcej niż trzech wymiarach. Przestrzeń Hilberta wykorzystuje matematykę dwóch i trzech wymiarów, aby spróbować opisać, co dzieje się w więcej niż trzech wymiarach. Nazywa się ona imieniem Davida Hilberta.
Algebra wektorowa i rachunek to metody zwykle stosowane w dwuwymiarowej płaszczyźnie euklidesowej i przestrzeni trójwymiarowej. W przestrzeniach Hilberta metody te mogą być stosowane z dowolną skończoną lub nieskończoną liczbą wymiarów. Przestrzeń Hilberta to przestrzeń wektorowa o strukturze produktu wewnętrznego, która umożliwia pomiar długości i kąta. Przestrzenie Hilberta muszą być również kompletne, co oznacza, że musi istnieć wystarczająco dużo ograniczeń, aby rachunek mógł działać.
Najwcześniejsze przestrzenie Hilberta studiowali w pierwszej dekadzie XX wieku David Hilbert, Erhard Schmidt i Frigyes Riesz. John von Neumann po raz pierwszy wymyślił nazwę "Przestrzeń Hilberta". Metody Hilberta dotyczące przestrzeni miały duży wpływ na analizę funkcjonalną.
W matematyce, fizyce i inżynierii, często jako nieskończone przestrzenie funkcyjne, pojawiają się przestrzenie Hilberta. Są one szczególnie przydatne do badania częściowych równań różniczkowych, mechaniki kwantowej, analizy Fouriera (która obejmuje przetwarzaniesygnału i wymianę ciepła). Przestrzenie Hilberta są wykorzystywane w teorii ergodowej, która jest matematyczną podstawą termodynamiki. Wszystkie normalne przestrzenie euklidesowe są również przestrzeniami Hilberta. Inne przykłady przestrzeni Hilberta obejmują przestrzenie funkcji integrujących kwadrat, przestrzenie sekwencji, przestrzenie Sobolewa składające się z funkcji uogólnionych oraz przestrzenie Hardy'ego funkcji holomorficznych.
Przestrzenie Hilberta mogą być wykorzystane do badania harmoniczności strun wibracyjnych.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest przestrzeń Hilberta?
O: Przestrzeń Hilberta to koncepcja matematyczna, która wykorzystuje matematykę dwóch i trzech wymiarów, aby spróbować opisać to, co dzieje się w wymiarach większych niż trzy. Jest to przestrzeń wektorowa o strukturze iloczynu wewnętrznego, która umożliwia mierzenie długości i kątów, a także musi być kompletna, aby działał rachunek.
P: Kto stworzył pojęcie przestrzeni Hilberta?
O: Pojęcie przestrzeni Hilberta zostało po raz pierwszy zbadane na początku XX wieku przez Davida Hilberta, Erharda Schmidta i Frigyesa Riesza. John von Neumann był tym, który wymyślił nazwę "przestrzeń Hilberta".
P: Jakie są niektóre zastosowania przestrzeni Hilberta?
O: Przestrzenie Hilberta są wykorzystywane w wielu dziedzinach, takich jak matematyka, fizyka, inżynieria, analiza funkcjonalna, równania różniczkowe cząstkowe, mechanika kwantowa, analiza Fouriera (która obejmuje przetwarzanie sygnałów i przenoszenie ciepła), teoria ergodyczna (matematyczna podstawa termodynamiki), funkcje kwadratowe-integracyjne, ciągi, przestrzenie Sobolewa złożone z funkcji uogólnionych, przestrzenie Hardy'ego funkcji holomorficznych.
P: Czy wszystkie normalne przestrzenie euklidesowe są również uważane za przestrzenie Hilberta?
O: Tak - wszystkie normalne przestrzenie euklidesowe są również uważane za przestrzenie Hilberta.
P: Jak przestrzenie Hilberta wpłynęły na analizę funkcjonalną?
O: Zastosowanie przestrzeni Hilberta miało duży wpływ na analizę funkcjonalną, ponieważ dostarczyło nowych metod badania problemów związanych z tą dziedziną.
P: Jakiego rodzaju matematyka jest potrzebna do pracy z przestrzenią Hilberta?
O: Algebra wektorowa i rachunek są zwykle używane przy pracy z dwuwymiarową płaszczyzną euklidesową lub przestrzenią trójwymiarową, ale te metody mogą być również używane z dowolną skończoną lub nieskończoną liczbą wymiarów przy pracy z przestrzenią Hilberta.
