Strumień elektryczny — definicja, wzór, jednostki i prawo Gaussa
Strumień elektryczny — definicja, wzór, jednostki i prawo Gaussa: klarowne wyjaśnienia, wzory, przykłady i zastosowania w polu elektrycznym oraz praktyczne wskazówki obliczeniowe.
Wyobraźmy sobie pole elektryczne E przechodzące przez powierzchnię. Dla małego elementu powierzchni dA (wektorowy element pola powierzchni o wartości dA i kierunku zgodnym z lokalną normalną) przyjmijmy, że pole E jest w przybliżeniu stałe na tym elemencie. Niech kąt pomiędzy wektorem E i wektorem powierzchni dA oznaczony będzie przez θ. Wówczas elementarny strumień elektryczny przez ten element powierzchni definiuje się jako iloczyn skalarny pól:
EdA cos(θ) — czyli inaczej dΦE = E · dA. Nieskończony obszar (dA) na tej powierzchni, przez który E pozostaje stały, jest często używany w rozważaniach ilustrujących to pojęcie. E i dA są wektorami; strumień jest iloczynem kropkowym tych wektorów. Używając pełnej notacji wektorowej, elementarny strumień przez mały obszar przedstawia się graficznie i symbolicznie:
d Φ E = E ⋅ d A {\i1}displaystyle d\Phi _{E}=mathbf {E} \ddot dmathbf {A} } 
Strumień przez powierzchnię
Strumień elektryczny przez dowolną powierzchnię S obliczamy przez całkowanie pola normalnej składowej pola elektrycznego po tej powierzchni (całka powierzchniowa):
Φ E = ∫ S E ⋅ d A {\i1}Displaystyle Phi _{E}=int _{S}\i0}mathbf {E} \ddot dmathbf {A} } 
W tej definicji E jest wektorem pola elektrycznego, a dA jest wektorowym elementem powierzchni o kierunku normalnym (dla powierzchni zamkniętej zwyczajowo zwróconym na zewnątrz). Dla powierzchni otwartej kierunek normalnej dobieramy zgodnie z przyjętą orientacją powierzchni.
Prawo Gaussa (postać całkowa)
Dla powierzchni zamkniętej (tzw. powierzchni Gaussa) całkowity strumień pola elektrycznego przez tę powierzchnię jest równy ilorazowi całkowitego ładunku netto zawartego wewnątrz tej powierzchni i przenikalności elektrycznej próżni:
Φ E = ∮ S E ⋅ d A = Q S ϵ 0 {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}Phi _{E}=punkt _{S}{\i1}mathbf {\i0} {Cdot dmathbf {A} =frac {Q_{S} {\i1}{\i1}{\i1}Sepilon{\i0}}}}} 
Gdzie QS to ładunek netto zawarty wewnątrz zamkniętej powierzchni (obejmujący ładunek wolny i związany), a ε0 to stała elektryczna (przenikalność elektryczna próżni). Zależność ta jest znana jako prawo Gaussa dla pola elektrycznego w jego integralnej postaci i jest jednym z czterech równań Maxwella.
Warto tu doprecyzować istotne punkty:
- Prawo Gaussa jest zawsze prawdziwe (wynika z równań Maxwella). Jednak jego praktyczne zastosowanie do obliczania pola E wymaga, aby rozkład ładunków i geometryczne obiekty miały wystarczająco dużą symetrię (np. sferyczną, cylindryczną lub płaszczyznową). Komputer pozwala rozwiązywać przypadki bez symetrii, lecz analityczne obliczenia bywają wtedy trudne.
- Ładunki znajdujące się na zewnątrz zamkniętej powierzchni nie zmieniają całkowitego (netto) strumienia przez tę powierzchnię — ich wpływ na pola generuje strumienie lokalne, które sumarycznie się znoszą. Jednak ładunki zewnętrzne wpływają na wartość pola E w każdym punkcie powierzchni (tj. na wartość integrandu), mimo że całkowita całka pozostaje niezmieniona.
- Prawo w formie różniczkowej wyraża się przez dywergencję pola: ∇·E = ρ/ε0, gdzie ρ to gęstość ładunku (pojedyncze ładunki wolne i związane w jednostce objętości).
Przykłady zastosowań
- Dla jednorodnego pola E przepływającego przez płaski obszar powierzchni A pod kątem θ względem normalnej: Φ = E A cos θ.
- Dla punktowego ładunku Q umieszczonego w środku sfery o promieniu r pole na powierzchni sfery ma wartość E = (1/4πε0)·Q/r2 skierowaną promieniście, a całkowity strumień przez sferę wynosi Φ = Q/ε0 (co bezpośrednio widać z prawa Gaussa).
- Dla rozkładów o symetrii cylindrycznej (np. nieskończony prostoliniowy ładunek), wybierając powierzchnię Gaussa zgodną z symetrią (walec), można łatwo obliczyć E wykorzystując Φ = Q/ε0.
Jednostki
Strumień elektryczny ma w układzie SI jednostkę V·m (woltometr) lub równoważnie N·m2·C−1 (niutonometry kwadratowe na kulomb). W jednostkach podstawowych SI odpowiada to: kg·m3·s−3·A−1.
Podsumowując: strumień elektryczny mierzy przepływ pola elektrycznego przez powierzchnię; w przypadku zamkniętej powierzchni całkowity strumień zależy wyłącznie od ładunku zawartego wewnątrz (prawo Gaussa), co czyni to narzędzie szczególnie użytecznym przy problemach o dużej symetrii.
Powiązane strony
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest strumień elektryczny?
O: Strumień elektryczny to iloczyn punktowy pola elektrycznego, E, i różnicy powierzchni, dA.
P: Jak oblicza się strumień elektryczny?
O: Strumień elektryczny można obliczyć za pomocą równania EdAcos(i), gdzie E jest polem elektrycznym, a dA jest nieskończonym obszarem na powierzchni, na którym E pozostaje stałe. Kąt pomiędzy E i dA wynosi i.
P: Co mówi Prawo Gaussa dla pól elektrycznych?
O: Prawo Gaussa dla pól elektrycznych mówi, że dla zamkniętej powierzchni gaussowskiej strumień elektryczny przez nią przepływający będzie równy ładunkowi netto w niej zawartemu, podzielonemu przez stałą elektryczną (ε0). Ta zależność jest prawdziwa we wszystkich sytuacjach, ale może być wykorzystana do obliczeń tylko wtedy, gdy w polu elektrycznym występują wysokie stopnie symetrii.
P: Jakie są przykłady sytuacji symetrycznych, w których prawo Gaussa można wykorzystać do obliczeń?
O: Przykładami są symetria sferyczna i cylindryczna.
P: Jakie są jednostki SI strumienia elektrycznego?
O: Strumień elektryczny ma w układzie SI jednostki woltometrów (V m) lub niutonometrów do kwadratu na kulomb (N m2 C-1). Jednostki podstawowe SI strumienia elektrycznego to kg-m3-s-3-A-1.
P: Czy strumień elektryczny zależy od ładunków na zewnątrz zamkniętej powierzchni?
O: Nie, na strumień elektryczny nie mają wpływu ładunki znajdujące się poza zamkniętą powierzchnią, ale mogą one wpływać na pole elektryczne netto w jej obrębie.
Przeszukaj encyklopedię