Przestrzeń topologiczna — co to jest? Definicja i przykłady

Definicja (dokładniej)

Formalnie: niech X będzie zbiorem. Topologię na X stanowi pewien zbiór T podzbiorów X (czyli T ⊆ P(X)) spełniający trzy aksjomaty:

• ∅ oraz X należą do T (zbiór pusty i cały zbiór są otwarte).
• Dowolne sumy (unie) elementów T są w T — czyli dowolna (również nieskończona) unia otwartych zbiorów jest otwarta.
• Równe przecięcia skończonej liczby elementów T należą do T — przecięcie dwóch, trzech itd. otwartych zbiorów jest otwarte (wystarcza skończona liczba).

Zbiór T spełniający te warunki nazywamy topologią, a para (X, T) — przestrzenią topologiczną.

Zbiory zamknięte i ich własności

Podzbiór A ⊆ X nazywamy zamkniętym, gdy jego dopełnienie X \ A jest otwarte. Z własności definicji wynikają odwrotne reguły dla zbiorów zamkniętych:

• Dowolne przecięcie zbiorów zamkniętych jest zamknięte (w szczególności przecięcie nawet nieskończonej rodziny).
• Skończona unia zbiorów zamkniętych jest zamknięta.

Uwaga: wymóg tylko skończonego przecięcia w aksjomatach topologii (dla zbiorów otwartych) jest celowy — pozwala to konstrukcjom, w których nie wszystkie pojedyncze punkty muszą być otwarte. W skrajnych przypadkach zbiór zawierający każdy punkt może być zarówno otwarty, jak i zamknięty; podobnie zbiór pusty jest jednocześnie otwarty i zamknięty.

Sąsiedztwa, wnętrze, domknięcie

Sąsiedztwem punktu x ∈ X nazywamy dowolny otwarty zbiór zawierający x. Dwa ważne operatory związane z topologią to:

• Wnętrze A° zbioru A — największy otwarty zbiór zawarty w A (punkty, które mają otoczenie w pełni zawarte w A).
• Domknięcie cl(A) — najmniejszy zbiór zamknięty zawierający A (zawiera wszystkie punkty graniczne A).

Również brzeg (hrz. granica) zbioru A to cl(A) \ A°. Te pojęcia pozwalają formalizować intuicje dotyczące „wewnątrz”, „na brzegu” i „na zewnątrz”.

Przykłady topologii

• Topologia trywialna (indyskretna): T = {∅, X}. Tylko ∅ i X są otwarte.
• Topologia dyskretna: T = P(X) — wszystkie podzbiory są otwarte. To „maksymalna” topologia na X.
• Topologia standardowa na ℝ: otwarte są unie otwartych przedziałów (a, b). To topologia pochodząca z metryki zwykłej odległości.
• Topologia wywołana przez metrykę: każde przestrzeń metryczna (X, d) daje topologię, w której otwarte są unie kul (x, r) = {y : d(x,y) < r}.
• Topologia cofinitna: otwarte są ∅ oraz zbiory, których dopełnienia są skończone. Często używana jako przykład nietypowych własności.
• Topologia iloczynu i podprzestrzeni: z istniejących topologii można tworzyć nowe — topologię produktu na X×Y oraz topologię podprzestrzeni na A ⊆ X (otwarte w A to przecięcia otwartych w X z A).

Podstawa topologii

Zbiór B podzbiorów X jest bazą (podstawą) topologii, jeśli dla każdego x ∈ X istnieje B_x ∈ B zawierające x oraz każde otwarte U można zapisać jako unię elementów z B. Łatwiej jest czasem podawać bazę niż pełną kolekcję otwartych zbiorów.

Ciągłość funkcji

Funkcja f : X → Y między przestrzeniami topologicznymi jest ciągła, gdy dla każdego otwartego U w Y odwzorowanie wsteczne f^{-1}(U) jest otwarte w X. W przestrzeniach metrycznych ta definicja zgadza się z klasyczną ε–δ.

Kilka ważnych własności topologicznych

• Zbieżność ciągów (lub filtrów, sieci) bada, czy punkty „zbliżają się” do pewnych wartości.
• Spójność (connectedness) — czy przestrzeń nie da się podzielić na dwa niepuste rozłączne zbiory otwarte.
• Kompaktowość — każde pokrycie otwarte ma podpokrycie skończone; własność kluczowa w analizie i teorii funkcji.
• Aksjomaty separacji (T0, T1, T2=Hausdorff i inne) określają, jak dobrze można oddzielać punkty i zbiory za pomocą otwartych sąsiedztw.

Uwagi końcowe

Na tym samym zbiorze X można wprowadzić bardzo wiele różnych topologii — od najmniejszej (indyskretnej) do największej (dyskretnej) — co prowadzi do różnych pojęć „bliskości” i różnych własności przestrzeni. Topologia daje elastyczne ramy do badania zależności między strukturą zbioru a pojęciami geometrycznymi i analitycznymi, bez potrzeby wprowadzania od razu metryki czy kąta.