Przestrzeń topologiczna
Przestrzeń topologiczna to przestrzeń badana w topologii, matematyce struktury kształtów. Mniej więcej, jest to zbiór rzeczy (zwanych punktami) wraz ze sposobem na poznanie, które rzeczy są blisko siebie.
Dokładniej rzecz ujmując, przestrzeń topologiczna ma pewien rodzaj zestawu, zwanego zestawem otwartym. Zestawy otwarte są ważne, ponieważ pozwalają na rozmowę o punktach w pobliżu innego punktu, zwanego sąsiedztwem tego punktu. Sąsiedztwo punktu to po prostu otwarty zbiór zawierający ten punkt. Jeśli nie ma się pojęcia otwartych zbiorów, nie można dobrze zdefiniować sąsiedztwa. Jeżeli ktoś próbuje zdefiniować dzielnicę, w której znajduje się punkt, jako dowolny zbiór zawierający ten punkt, może on zawierać tylko ten punkt i tylko ten punkt, a nie jakiekolwiek punkty znajdujące się w jego pobliżu lub punkty położone daleko od niego. Mamy też pojęcie zbiorów zamkniętych, które są dopełnieniem zbiorów otwartych. Oznacza to, że wszystkie punkty nienależące do danego zbioru otwartego tworzą zbiór zamknięty.
Otwarte zestawy muszą przestrzegać pewnych zasad, aby pasowały do naszych wyobrażeń o bliskości. Związek dowolnej liczby otwartych zestawów musi być otwarty, a związek skończonej liczby zamkniętych zestawów musi być zamknięty. (Druga zasada działa tylko dla skończonej liczby zamkniętych setów. Dzieje się tak, ponieważ w wielu przypadkach zamknięty jest zbiór zawierający jeden punkt. Każdy set jest zrobiony z punktów. Gdyby druga zasada miała zastosowanie do nieskończonej liczby zamkniętych zestawów, to każdy zestaw zostałby zamknięty). W szczególnym przypadku, zestaw zawierający każdy punkt jest zarówno otwarty jak i zamknięty. Zestaw bez punktów również jest zarówno otwarty, jak i zamknięty.
Zestaw punktów może mieć wiele różnych definicji tego, czym jest otwarty zestaw. Można myśleć tylko o pewnych zbiorach jako otwartych, lub o większej liczbie zbiorów jako otwartych. Można nawet uznać każdy zbiór za otwarty. Ten sam zestaw z różnymi definicjami otwartych zestawów tworzy różne przestrzenie topologiczne.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest przestrzeń topologiczna?
O: Przestrzeń topologiczna to zbiór punktów wraz z możliwością sprawdzenia, które rzeczy są blisko siebie. Jest ona badana w matematyce struktury kształtów.
P: Co to są zbiory otwarte?
O: Zbiory otwarte są ważne, ponieważ pozwalają mówić o punktach znajdujących się w pobliżu innego punktu, zwanych sąsiedztwem punktu. Definiuje się je jako pewne rodzaje zbiorów, które można wykorzystać do zdefiniowania sąsiedztwa w dobry sposób.
P: Co muszą spełniać zbiory otwarte?
O: Zbiory otwarte muszą spełniać pewne zasady, aby odpowiadały naszym wyobrażeniom o bliskości. Związek dowolnej liczby zbiorów otwartych musi być otwarty, a związek skończonej liczby zbiorów zamkniętych musi być zamknięty.
P: Jaki jest szczególny przypadek zbiorów otwartych i zamkniętych?
O: Szczególnym przypadkiem zarówno zbiorów otwartych, jak i zamkniętych jest to, że zbiór zawierający każdy punkt jest zarówno otwarty, jak i zamknięty, a także to, że zbiór nie zawierający żadnych punktów jest zarówno otwarty, jak i zamknięty.
P: Jak różne definicje wpływają na przestrzenie topologiczne?
O: Różne definicje tego, czym jest zbiór otwarty, mogą wpływać na przestrzenie topologiczne, uznając tylko niektóre zbiory za otwarte lub więcej niż zwykle, lub nawet uznając każdy zbiór za otwarty.
P: Czy nieskończona liczba zbiorów zamkniętych może tworzyć dowolny zbiór?
O: Nie, gdyby dozwolona była nieskończona liczba zbiorów zamkniętych, wówczas każdy zbiór byłby uważany za zamknięty, ponieważ każdy zbiór składa się tylko z punktów.
