Wektor jednostkowy to dowolny wektor, który jest jedną jednostką długości.

Wektory jednostkowe są często notowane w ten sam sposób, co wektory normalne, ale ze znakiem nad literą (np. a ^ {\i1}styl stylistyczny formathbf {\i0} {\i1} co {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} }jest wektorem jednostkowym a).

Aby stworzyć wektor w jednostkę wektorową, należy podzielić go przez jego długość: u ^ = u / "u ‖ u ‖ {\i1} {\i1}{\i1}{\i1}{\i1} {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert }

Definicja i notacja

Wektor jednostkowy to wektor o długości równej 1, tzn. dla wektora u zachodzi ‖u‖ = 1. Najczęściej oznaczamy go symbolem z daszkiem, np. û lub \u005E u (czyli u z daszkiem nad literą). W zapisie wektorów pisanych pogrubioną literą można też spotkać \u005Cmathbf{\u005E a}, co pokazuje zdjęcie zamieszczone powyżej.

Normalizacja — wzór i krok po kroku

Aby uzyskać wektor jednostkowy o tej samej kierunku co dany wektor u, wykonujemy operację normalizacji. Wzór to:

û = u / ‖u‖, gdzie ‖u‖ oznacza długość (normę) wektora u.

  • Krok 1: Oblicz normę wektora u. Dla wektora współrzędnych (u1, u2, ..., un) norma euklidesowa to √(u1² + u2² + ... + un²).
  • Krok 2: Jeśli ‖u‖ = 0 (wektor zerowy), normalizacja jest niemożliwa — wektor zerowy nie ma kierunku.
  • Krok 3: Podziel każdy współrzędny wektora u przez jego normę ‖u‖, otrzymując wektor jednostkowy û.

Przykłady obliczeń

  • Przykład w R2: niech u = (3, 4). Norma ‖u‖ = √(3² + 4²) = 5. Wektor jednostkowy to û = (3/5, 4/5).
  • Przykład w R3: niech u = (1, 2, 2). Norma ‖u‖ = √(1 + 4 + 4) = 3. Wektor jednostkowy: û = (1/3, 2/3, 2/3).
  • Uwaga: dla u = (0,0,0) normalizacja nie jest możliwa, ponieważ ‖u‖ = 0 i nie można dzielić przez zero.

Standardowe wektory jednostkowe i baza ortonormalna

W przestrzeniach euklidesowych często korzysta się z standardowych wektorów jednostkowych tworzących bazę. W R2 są to:

  • e1 = (1,0) oraz e2 = (0,1), czasem oznaczane jako i i j.
  • W R3 do nich dochodzi e3 = (0,0,1), oznaczany też jako k.

Zestaw wektorów jednostkowych, które są parami ortogonalne (prostopadłe) i mają długość 1, tworzy bazę ortonormalną. Taką bazę można otrzymać np. metodą Grama–Schmidta z dowolnej bazy liniowo niezależnej.

Właściwości i zastosowania

  • Dla dwóch wektorów jednostkowych u i v iloczyn skalarny równa się kosinusowi kąta między nimi: u·v = cos θ. Dzięki temu wektory jednostkowe są przydatne przy obliczaniu kierunków i kątów.
  • Wektor jednostkowy zachowuje kierunek oryginalnego wektora (lub przeciwny, jeśli podzielono wektor o przeciwnym zwrocie) — zmieniona jest tylko długość (ustawiona na 1).
  • Zastosowania praktyczne: wyznaczanie kierunków w grafice komputerowej, obliczanie normalnych do powierzchni w geometrii i fizyce, tworzenie wektorów kierunkowych w mechanice i analizie wektorowej.

Podsumowanie

Wektor jednostkowy to prosty, ale kluczowy pojęcie w geometrii i algebrze liniowej. Normalizacja (dzielenie przez normę) pozwala przekształcić dowolny niezerowy wektor w wektor o długości 1, zachowując jego kierunek — co ma szerokie zastosowania w praktyce i teorii.