Trygonometria — definicja, funkcje (sin, cos, tan) i zastosowania

Trygonometria (z greckiego trigon = trzy kąty i metron = miara) jest częścią matematyki elementarnej zajmującą się kątami, trójkątami i funkcjami trygonometrycznymi takimi jak sinus (w skrócie sin), cosinus (w skrócie cos) i tangens (w skrócie tan). Ma to pewien związek z geometrią, choć nie ma zgody co do tego, jaki dokładnie jest ten związek; dla niektórych trygonometria jest tylko częścią geometrii, dla innych jest niezależną dziedziną mającą zastosowania także poza klasyczną geometrią.

Podstawowe pojęcia

W trygonometrii rozróżnia się dwa podstawowe sposoby definiowania funkcji trygonometrycznych:

• definicja na trójkącie prostokątnym — dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:
• sin α = przeciwprostokątna do kąta α / przekątna (hipotenusa)
• cos α = przyprostokątna przyległa do kąta α / przekątna (hipotenusa)
• tan α = przeciwprostokątna / przyprostokątna = sin α / cos α
• definicja na kole jednostkowym — dla kąta mierzonego od osi OX w układzie współrzędnych: punkt na kole jednostkowym (x, y) odpowiada wartościom cos=x i sin=y; tan to y/x (jeśli x ≠ 0).

Miary kąta i konwersja

W trygonometrii kąty wyraża się zwykle w stopniach (°) lub radianach (rad). Związek między nimi to:

• 360° = 2π rad ⇒ 1° = π/180 rad, 1 rad ≈ 57,2958°

Wartości funkcji dla kątów szczególnych

• 0° (0 rad): sin = 0, cos = 1, tan = 0
• 30° (π/6): sin = 1/2, cos = √3/2, tan = 1/√3
• 45° (π/4): sin = √2/2, cos = √2/2, tan = 1
• 60° (π/3): sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3
• 90° (π/2): sin = 1, cos = 0, tan — nieokreślony

Podstawowe własności i tożsamości

• Tożsamość pitagorejska: sin²x + cos²x = 1
• Wzór na tangens: tan x = sin x / cos x (dla cos x ≠ 0)
• Okresowość: sin i cos mają okres 2π, tan ma okres π
• Własności parzystości: cos(−x) = cos x (funkcja parzysta), sin(−x) = −sin x (funkcja nieparzysta)
• Wzory redukcyjne i na sumę/kosinus sumy:
  • sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
  • cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
  • tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a tan b)
• Wzory podwójnego kąta:
  • sin 2x = 2 sin x cos x
  • cos 2x = cos²x − sin²x = 2 cos²x − 1 = 1 − 2 sin²x

Funkcje odwrotne i zakresy

• Arkusz funkcji odwrotnych: arcsin, arccos, arctan (czasem asin, acos, atan).
• Zakresy przyjęte standardowo:
  • arcsin : [−1,1] → [−π/2, π/2]
  • arccos : [−1,1] → [0, π]
  • arctan : R → (−π/2, π/2)

Pochodne i całki (podstawowe)

• d/dx sin x = cos x
• d/dx cos x = −sin x
• d/dx tan x = 1 / cos²x = sec²x
• Podstawowe całki:
  • ∫ sin x dx = −cos x + C
  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ tan x dx = −ln |cos x| + C

Rozwinięcia w szereg (Maclaurin)

• sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
• cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
• Te rozwinięcia są użyteczne przy przybliżeniach i w analizie numerycznej; dla małych x sin x ≈ x, cos x ≈ 1 − x²/2.

Rozszerzenia i pokrewne funkcje

• Funkcje odwrotne (arcsin, arccos, arctan) — przydatne do wyznaczania kątów na podstawie wartości trygonometrycznych.
• Funkcje odwrotne i odwrotne multiplicative: sec x = 1/cos x, csc x = 1/sin x, cot x = 1/tan x.
• Trygonometria hiperboliczna (sinh, cosh, tanh) pojawia się w niektórych zastosowaniach i ma analogiczne własności algebraiczne.

Zastosowania

Trygonometria ma bardzo szerokie zastosowanie praktyczne i teoretyczne:

• geodezja i kartografia — pomiary odległości i kątów na powierzchni Ziemi, obliczanie azymutów;
• nawigacja — określanie kursu i pozycji przy użyciu kątów i funkcji trygonometrycznych;
• inżynieria i budownictwo — obliczenia konstrukcyjne, analiza sił, projektowanie dźwigarów i pochyłości;
• fizyka — opis ruchu falowego, oscylacji, mechaniki klasycznej i kwantowej;
• technika sygnałowa i przetwarzanie dźwięku/obrazu — analiza harmoniczna, transformacje Fouriera;
• grafika komputerowa — obroty, przekształcenia i rzutowania w grafice 2D/3D;
• robotyka i sterowanie — obliczanie kinematyki, orientacji i trajektorii.

Przykład praktyczny

Chcemy zmierzyć wysokość słupa korzystając z dalmierza i kątomierza: stojąc w odległości d od podstawy słupa mierzymy kąt α od poziomu do czubka. Wysokość h słupa (pomijając wysokość obserwatora) obliczamy jako:

h = d · tan α

Uwagi końcowe

Trygonometria łączy intuicję geometryczną z analizą funkcjonalną i jest fundamentem dla wielu dziedzin matematyki oraz nauk stosowanych. Poznanie podstawowych własności funkcji trygonometrycznych oraz umiejętność stosowania tożsamości trygonometrycznych i przybliżeń otwiera drogę do bardziej zaawansowanych zastosowań w nauce i technice.