Przestrzeń prawdopodobieństwa — definicja, aksjomaty Kołmogorowa i przykłady

Przestrzeń prawdopodobieństwa: definicja, aksjomaty Kołmogorowa i praktyczne przykłady — przejrzyste wyjaśnienia, wzory i zastosowania dla studentów i badaczy.

Przestrzeń prawdopodobieństwa to model matematyczny używany do opisu eksperymentów naukowych. Przestrzeń prawdopodobieństwa składa się z trzech części:

1. Przestrzeń próbkowania Ω — lista wszystkich możliwych wyników pojedynczego eksperymentu (tzw. wyników elementarnych lub elementarnych zdarzeń).
2. Zestaw zdarzeń — czyli wybrane zbiory wyników (podzbiory Ω). Zbiór wszystkich zdarzeń, na którym definiuje się prawdopodobieństwo, zwykle jest σ-algebrą (σ‑algebrą) F.
3. Funkcja P — miara prawdopodobieństwa przypisująca każdemu zdarzeniu wartość z przedziału [0,1].

Wynik jest efektem pojedynczego wykonania eksperymentu. Ponieważ pojedyncze wyniki bywają mało informatywne, do opisu zachowania procesu używa się bardziej złożonych zdarzeń — czyli zbiorów wyników. Zbiór wszystkich takich zdarzeń jest σ-algebrą F {\i1}w stylu skryptowym {\i0}. . Wreszcie, istnieje potrzeba określenia prawdopodobieństwa wystąpienia każdego zdarzenia. Dokonuje się tego za pomocą funkcji pomiaru prawdopodobieństwa, P.

Po ustaleniu przestrzeni prawdopodobieństwa przyjmuje się, że „natura” wykonuje swój ruch i wybiera jeden wynik ω z przestrzeni próbkowania Ω. Wszystkie zdarzenia w F {\i1}stylu graficznym {\i1}, które zawierają wybrany wynik ω (pamiętaj, że każde zdarzenie jest podzbiorem Ω) są uważane za „zaistniałe”. Wybór dokonywany przez naturę można interpretować przez częstotliwości empiryczne: gdyby eksperyment powtarzać nieskończenie wiele razy, względne częstości występowania zdarzeń dążyłyby do wartości określonych przez P.

Wybitny radziecki matematyk Andriej Kołmogorow wprowadził w latach trzydziestych XX wieku formalną definicję przestrzeni prawdopodobieństwa i sformułował trzy aksjomaty, które dziś są podstawą teorii prawdopodobieństwa.

Definicja formalna

Formalnie przestrzeń prawdopodobieństwa to uporządkowana trójka (Ω, F, P), gdzie:

• Ω — przestrzeń próbkowania (zbiór wszystkich możliwych wyników),
• F — σ‑algebra zdarzeń na Ω (zbiór podzbiorów Ω zamknięty na dopełnienia i zliczalne sumy),
• P — miara prawdopodobieństwa na (Ω, F), tj. funkcja przypisująca każdemu A ∈ F liczbę P(A) ∈ [0,1].

Aksjomaty Kołmogorowa

1. Nieujemność: dla każdego zdarzenia A ∈ F mamy P(A) ≥ 0.
2. Normalizacja: P(Ω) = 1.
3. Skończona (i zliczalna) addytywność: jeśli A1, A2, A3, ... są parami rozłącznymi zdarzeniami z F (Ai ∩ Aj = ∅ dla i ≠ j), to P(⋃_{i=1}^∞ Ai) = Σ_{i=1}^∞ P(Ai).

Od tych aksjomatów wynikają istotne własności, m.in.:

• P(∅) = 0 (prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerowe),
• monotoniczność: jeśli A ⊆ B, to P(A) ≤ P(B),
• formuły inkluzji‑wykluczenia dla sumy skończonej liczby zdarzeń oraz konsekwencje addytywności dla skończonych zbiorów rozłącznych.

σ-algebra (σ‑algebra)

W praktyce wybór σ‑algebry F zależy od modelu. Dla przestrzeni skończonych lub przeliczalnych często przyjmujemy całą rodzinę podzbiorów (tzw. algebra potęgowa P(Ω)). Dla przestrzeni ciągłych (np. Ω = ℝ) naturalnym wyborem jest σ‑algebra Borela, czyli zbiór borowskich podzbiorów ℝ, na których definiuje się miary (np. rozkłady ciągłe).

Przykłady przestrzeni prawdopodobieństwa

• Rzut monetą: Ω = {orzeł, reszka}, F = P(Ω), P(orzeł)=P(reszka)=1/2 — prosty model dyskretny.
• Rzut sześcienną kostką: Ω = {1,2,3,4,5,6}, P({i}) = 1/6 dla i=1..6.
• Przestrzeń ciągła (jednostajny na [0,1]): Ω = [0,1], F = σ(Borel), P odpowiada rozkładowi jednostajnemu — pojedynczy punkt ma P({x}) = 0.
• Rozkład normalny: Ω = ℝ, F = σ(Borel), P ma gęstość φ(x) względem miary Lebesgue’a (np. N(0,1)).
• Miara Diraca: dla dowolnego ω0 ∈ Ω można zdefiniować P(A) = 1 gdy ω0 ∈ A, w przeciwnym razie 0 — model deterministyczny.
• Procesy losowe i rozkłady dyskretne (Poissona, Bernoulliego itp.): odpowiednie Ω i P opisują liczbę zdarzeń w czasie, wyniki binarne, itp.

Interpretacje i pojęcia ważne w zastosowaniach

• Interpretacja częstotliwościowa: P(A) interpretuje się jako granicę względnej częstości występowania A przy powtarzaniu eksperymentu.
• Interpretacja bayesowska: P wyraża stopień usprawiedliwionego przekonania w wystąpienie A (subiektywny stopień wiary).
• Wydarzenie niemal pewne (almost surely): zdarzenie A zachodzi prawie pewnie jeśli P(A)=1; zdarzenia o P(A)=0 nazywane są zerowymi lub prawie niemożliwymi. W przestrzeniach ciągłych może zdarzyć się, że pojedynczy wynik ma prawdopodobieństwo zero, mimo że jakiś wynik oczywiście zajdzie.
• Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność: dla B z P(B)>0 definiuje się P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Zdarzenia A i B są niezależne jeśli P(A∩B)=P(A)P(B).
• Zmienne losowe: to funkcje mierzalne X: Ω → ℝ (albo do innej przestrzeni) — ich rozkład to miara obrazowa P_X(B)=P(X ∈ B). Dzięki zmiennym losowym opisujemy wartości (liczbowe) wyników eksperymentu.

Uwagi praktyczne

Przy modelowaniu ważne jest dobranie odpowiedniej przestrzeni Ω i σ‑algebry F — zbyt mała σ‑algebra może nie zawierać interesujących zdarzeń, zbyt duża (np. pełna potęgowa na przestrzeni nieprzeliczalnej) może być technicznie problematyczna, dlatego w analizie ciągłej używa się naturalnych konstrukcji jak σ‑algebra Borela i miara Lebesgue’a. Aksjomaty Kołmogorowa zapewniają spójność matematyczną modelu i pozwalają wyprowadzić dalsze własności, stosowane w statystyce, teorii procesów stochastycznych i zastosowaniach praktycznych.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest przestrzeń prawdopodobieństwa?

P: Z czego składa się przestrzeń prób?

P: Co to jest wynik?

P: Do czego służą zdarzenia w przestrzeni prawdopodobieństwa?

P: Jak przypisuje się prawdopodobieństwo do każdego zdarzenia?

Szukaj według litery