Wavelet jest funkcją matematyczną służącą do zapisywania funkcji lub sygnału w kategoriach innych funkcji, które są łatwiejsze do opanowania. Wiele zadań przetwarzania sygnału można postrzegać w kategoriach transformacji falkowej. Nieformalnie, sygnał można zobaczyć pod obiektywem z powiększeniem podanym przez skalę fali. W ten sposób widzimy tylko te informacje, które są określone przez kształt użytej fali.

Angielski termin "wavelet" został wprowadzony na początku lat 80. przez francuskich fizyków Jeana Morleta i Alexa Grossmana. Użyli oni francuskiego słowa "ondelette" (co oznacza "mała fala"). Później słowo to zostało wprowadzone do języka angielskiego poprzez przetłumaczenie słowa "onde" na "wave", co oznacza "wavelet".

Wavelet jest (złożoną) funkcją z przestrzeni Hilberta ψ ∈ L 2 ( R ) {\i1} {\i1}psi {\i1}w L^{\i0}(\i1}mathbb {\i1})} {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}. Dla zastosowań praktycznych powinna spełniać następujące warunki.

To musi mieć skończoną energię.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\i0} {\i1}infty ^^{\i0} \i1}psi (t)\i0}dt<infty } {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Musi ona spełniać warunek dopuszczalności.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\i0} \i1} \i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{C:$aaccff}{\i1}{\i1}{\i1} \{y:i}domega {y:i}domega {y:i}infty... {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }gdzie ψ {\i1} {\i1} {\i1}psi{\displaystyle {\hat {\psi }}} {\i1}jest transformacją Fouriera ψ {\i1} {\i1}psi {\i1},{\i1} {\displaystyle \psi \,}

Warunek zerowy oznacza warunek dopuszczalności.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\i0} {\i1}infty ^^ {\i1}infty \i0}psi (t)dt=0} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

Funkcja ψ {\i1}...{\displaystyle \psi \,}{\i0} {\i1}psi {\i1}jest nazywana falbanką matką.{\i0} Jej przetłumaczone (przesunięte) i rozszerzone (skalowane) wersje znormalizowane są zdefiniowane następująco.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\i1}psi {a,b}(t)={\i0}frac {\i1}{\i1}{\i1}sqrt {a}}psi {\i1}left(t-b) {\i1}poprzez {a}prawda}} {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

Oryginalna fala macierzysta ma parametry a = 1{\displaystyle a=1} {\i1}i b = 0 {\i0} {\displaystyle b=0}. Tłumaczenie jest opisane parametrem {\displaystyle b}b {\i1}i dylatacja aparametrem a{\i0}.