Falki

Wavelet jest funkcją matematyczną służącą do zapisywania funkcji lub sygnału w kategoriach innych funkcji, które są łatwiejsze do opanowania. Wiele zadań przetwarzania sygnału można postrzegać w kategoriach transformacji falkowej. Nieformalnie, sygnał można zobaczyć pod obiektywem z powiększeniem podanym przez skalę fali. W ten sposób widzimy tylko te informacje, które są określone przez kształt użytej fali.

Angielski termin "wavelet" został wprowadzony na początku lat 80. przez francuskich fizyków Jeana Morleta i Alexa Grossmana. Użyli oni francuskiego słowa "ondelette" (co oznacza "mała fala"). Później słowo to zostało wprowadzone do języka angielskiego poprzez przetłumaczenie słowa "onde" na "wave", co oznacza "wavelet".

Wavelet jest (złożoną) funkcją z przestrzeni Hilberta ψ ∈ L 2 ( R ) {\i1} {\i1}psi {\i1}w L^{\i0}(\i1}mathbb {\i1})} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Dla zastosowań praktycznych powinna spełniać następujące warunki.

To musi mieć skończoną energię.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\i0} {\i1}infty ^^{\i0} \i1}psi (t)\i0}dt<infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Musi ona spełniać warunek dopuszczalności.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\i0} \i1} \i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{C:$aaccff}{\i1}{\i1}{\i1} \{y:i}domega {y:i}domega {y:i}infty... $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ gdzie ψ {\i1} {\i1} {\i1}psi ${\hat {\psi }}$ {\i1}jest transformacją Fouriera ψ {\i1} {\i1}psi {\i1},{\i1} $\psi \,$

Warunek zerowy oznacza warunek dopuszczalności.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\i0} {\i1}infty ^^ {\i1}infty \i0}psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Funkcja ψ {\i1}... $\psi \,$ {\i0} {\i1}psi {\i1}jest nazywana falbanką matką.{\i0} Jej przetłumaczone (przesunięte) i rozszerzone (skalowane) wersje znormalizowane są zdefiniowane następująco.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\i1}psi {a,b}(t)={\i0}frac {\i1}{\i1}{\i1}sqrt {a}}psi {\i1}left(t-b) {\i1}poprzez {a}prawda}} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Oryginalna fala macierzysta ma parametry a = 1 $a=1$ {\i1}i b = 0 {\i0} $b=0$ . Tłumaczenie jest opisane parametrem $b$ b {\i1}i dylatacja parametrem a{\i0}.

Fala morleta

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest falka?

O: Falka to funkcja matematyczna służąca do zapisywania funkcji lub sygnału w kategoriach innych funkcji, które są prostsze do zbadania. Można ją oglądać pod obiektywem z powiększeniem określonym przez skalę falki, co pozwala nam zobaczyć tylko informacje określone przez jej kształt.

P: Kto wprowadził termin "wavelet"?

O: Angielski termin "wavelet" został wprowadzony na początku lat 80. przez francuskich fizyków Jeana Morleta i Alexa Grossmana, którzy użyli francuskiego słowa "ondelette" (co oznacza "mała fala"). Później słowo to zostało wprowadzone do języka angielskiego poprzez przetłumaczenie "onde" na "wave", co dało nam "wavelet".

P: Co musi spełniać falowód, aby mógł być stosowany w praktyce?

O: Do zastosowań praktycznych falka musi mieć skończoną energię i spełniać warunek dopuszczalności. Ten warunek dopuszczalności mówi, że musi mieć zerową średnią, a także spełniać całkę z częstotliwości, która jest mniejsza od nieskończoności.

P: Co oznacza translacja i dylatacja w odniesieniu do falek?

O: Translacja to przesunięcie lub przemieszczenie falki macierzystej wzdłuż osi czasu, natomiast dylatacja to skalowanie lub rozciągnięcie/skurczenie falki macierzystej wzdłuż osi czasu. Te dwa parametry (translacja i dylatacja) są opisane odpowiednio przez b i a.

P: Co to znaczy, że falka ma zerową średnią?

O: Zerowa średnia oznacza, że przy całkowaniu po wszystkich wartościach t od nieskończoności ujemnej do nieskończoności dodatniej, suma powinna być równa 0, tzn. ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Ten wymóg wynika z samego warunku dopuszczalności, jak wspomniano powyżej.

P: Jak definiuje się falki macierzyste?

O: Falki macierzyste definiuje się jako znormalizowane wersje przetłumaczonej (przesuniętej) i rozszerzonej (przeskalowanej) wersji oryginalnych falek macierzystych, które mają parametry "a" = 1 & "b" = 0 .