Transformacja falowa

Transformacja falowa jest czasowo-częstotliwościową reprezentacją sygnału. Na przykład, używamy jej do redukcji szumów, ekstrakcji cech lub kompresji sygnału.

Transformacja falowa sygnału ciągłego jest zdefiniowana jako

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\i1}styk stylistyczny \i0}left[W_psi \i0}fright](a),b)= {frac {1} {sqrt {a} {\i1}int {\i1}infty {\i1}{\i1}infty {\i1}{\i1}psi {\i1} {\i1}left {\i1}{\i1} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ...{\i0}

gdzie

ψ {\i1}psi $\psi$ {\i1}jest tak zwaną matczyną falbanką,
Styl a oznacza dylatację falkową,
b $b$ {\i1}oznacza przesunięcie czasowe fali i
∗ {\i1}Symbol dysplastylu* $*$ ∗ {\i1}oznacza złożony koniugat*.

In case of a = a 0 m {\i1}displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ and b = a 0 m k T {\i1}displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ gdzie 0 > 1 {\i1}Style a_{0}>1} $a_{0}>1$ T > 0 {\i1}i m {\i1}i $T>0$ k {\i1}są stałymi całkowitymi, transformacja falkowa nazywana jest transformacją falkową dyskretną (sygnału ciągłego).

W przypadku a = 2 m {\i1}stylu $a=2^{m}$ a=2^{m}}i b = 2 m k T {\i1} {\i1}stylu b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ ...gdzie m > 0 {\i1}(styropian){\i0} $m>0$ , dyskretna transformacja falkowa jest nazywana dyadyjną. Jest ona zdefiniowana jako

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\i1}displaystyle \i0}left[W_psi \i0}fright](m),k)=frac {\i1}{\i1}sqrt {\i1}{\i1}sqrt {\i0}COPY0\i0}int {\i1}-infty {\i1}{\i1}{\i1}f(t)\i1}psi {\i1}{\i1}left(2^(m)\i0}t-kT\i0}right){\i0}dt,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$

gdzie

m to skala częstotliwości,
k {\i1}jest skala czasowa i
T $T$ {\i1}jest stały, co zależy od fali matki.

Istnieje możliwość przepisania dyadowej, dyskretnej transformacji falkowej jako

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\i1}...{\i0}(m,k)=int _{-infty \i0} {\i1}{f(t)h_{m} {\i1}left(2^(m)\i0}kT-t-t}right)}dt\i0} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

gdzie h m {\i1}displaystyle h_{m}} $h_{m}$ jest charakterystyką impulsową filtra ciągłego, która jest identyczna jak ψ m ∗ {\i1} {\i1}displaystyle {\i1}^{\i1} ${\psi _{m}}^{*}$ dla danego m {\i1}displaystylu m} .

Analogiczna, dyadowa transformacja falkowa z czasem dyskretnym (sygnału dyskretnego) jest zdefiniowana jako

Ciągła falowa transformacja sygnału rozkładu częstotliwości. Używany symlet z 5 zanikającymi momentami.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest transformata falkowa?

O: Transformacja falkowa to czasowo-częstotliwościowa reprezentacja sygnału, stosowana do redukcji szumów, ekstrakcji cech lub kompresji sygnału.

P: Jak definiuje się transformatę falkową sygnałów ciągłych?

O: Transformacja falkowa sygnałów ciągłych jest definiowana jako całka po wszystkich wartościach funkcji pomnożona przez falkę macierzystą, gdzie parametry "a" i "b" oznaczają odpowiednio dylatację i przesunięcie w czasie.

P: Co to są dyadyczne dyskretne transformaty falkowe?

O: Dyadyczna dyskretna transformata falkowa to dyskretna wersja zwykłej dyskretnej transformaty falkowej o skali częstotliwości "m", skali czasu "k" i stałej "T". Można je zapisać jako całkę po wszystkich wartościach funkcji pomnożoną przez filtr o charakterystyce impulsowej, który jest identyczny z falą macierzystą dla danego m.

P: Co oznacza w tym kontekście "fala macierzysta"?

O: W tym kontekście "falka macierzysta" oznacza funkcje, które w połączeniu z innymi funkcjami tworzą podstawę do obliczenia określonego rodzaju transformacji (w tym przypadku transformacji falkowej).

P: Jak oblicza się dyskretne falki dyadyczne?

O: Dyskretne falki dyadyczne oblicza się za pomocą całki nad wszystkimi wartościami funkcji pomnożonej przez filtr charakterystyki impulsowej, który jest identyczny z falką macierzystą dla danego m. Dodatkowo, jako parametry wymagają skali częstotliwości m, skali czasu k i stałej T.

P: Co oznaczają "a" i "b" przy definiowaniu falek ciągłych?

O: Przy definiowaniu falek ciągłych 'a' oznacza dylatację, a 'b' przesunięcie w czasie.