Odchylenie standardowe: definicja, interpretacja i zastosowania

Rozważmy grupę, która ma osiem następujących liczb:

2 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7 , 9 {{displaystyle 2,™ 4,™ 4,™ 5,™ 5,™ 7,™ 9}

Tych osiem liczb ma średnią wartość 5:

2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 8 = 5 { {frac {2+4+4+5+5+7+9}{8}}=5}.

Aby obliczyć odchylenie standardowe populacji, należy najpierw znaleźć różnicę każdej liczby na liście od średniej. Następnie podnieś do kwadratu wynik każdej z różnic:

5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16\\\end{array}}}

Następnie znajdź średnią z tych wartości (suma podzielona przez liczbę liczb). Na koniec, weź pierwiastek kwadratowy:

( 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 ) 8 = 2 { {frac {(9+1+1+0+0+4+16)}{8}}}=2}.

Odpowiedź to odchylenie standardowe populacji. Wzór jest prawdziwy tylko wtedy, gdy te osiem liczb, od których zaczęliśmy, to cała grupa. Jeśli jest to tylko część grupy wybrana losowo, to w dolnej części (mianowniku) przedostatniego kroku powinniśmy użyć 7 (czyli n - 1) zamiast 8 (czyli n). Wtedy odpowiedzią jest odchylenie standardowe próby. Jest to tzw. poprawka Bessela.

Nieco trudniejszy, rzeczywisty przykład: Średni wzrost dla dorosłych mężczyzn w Stanach Zjednoczonych wynosi 70", z odchyleniem standardowym 3". Odchylenie standardowe 3" oznacza, że większość mężczyzn (około 68%, zakładając rozkład normalny) ma wzrost o 3" wyższy do 3" niższy od średniej (67"-73") - jedno odchylenie standardowe. Prawie wszyscy mężczyźni (ok. 95%) mają wzrost o 6" wyższy do 6" niższy od przeciętnego (64"-76") - dwa odchylenia standardowe. Trzy odchylenia standardowe zawierają wszystkie liczby dla 99,7% badanej populacji próby. Jest to prawdą, jeśli rozkład jest normalny (dzwonowaty).

Gdyby odchylenie standardowe wynosiło zero, wówczas wszyscy mężczyźni mieliby dokładnie 70" wzrostu. Jeśli odchylenie standardowe wynosiłoby 20", wtedy niektórzy mężczyźni byliby znacznie wyżsi lub znacznie niżsi od średniej, z typowym zakresem około 50"-90".

Dla innego przykładu, każda z trzech grup {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} i {6, 6, 8, 8} ma średnią (średnią) 7. Ale ich odchylenia standardowe wynoszą 7, 5 i 1. Trzecia grupa ma znacznie mniejsze odchylenie standardowe niż pozostałe dwie, ponieważ wszystkie jej liczby są bliskie 7. Podstawową ideą jest to, że odchylenie standardowe mówi nam, jak daleko od średniej reszta liczb ma tendencję do być. To będzie mieć te same jednostki, jak same liczby. Jeżeli, na przykład, grupa {0, 6, 8, 14} jest wiekiem grupy czterech braci w latach, średnia wynosi 7 lat, a odchylenie standardowe 5 lat.

Odchylenie standardowe może służyć jako miara niepewności. W nauce, na przykład, odchylenie standardowe grupy powtarzanych pomiarów pomaga naukowcom wiedzieć, jak pewni są średniej liczby. Przy podejmowaniu decyzji, czy pomiary z eksperymentu zgadzają się z przewidywaniami, odchylenie standardowe tych pomiarów jest bardzo ważne. Jeśli średnia liczba z eksperymentów jest zbyt odległa od przewidywanej (przy czym odległość tę mierzy się w odchyleniach standardowych), to testowana teoria może nie być słuszna. Zobacz przedział predykcji.

Przykłady zastosowań

Zrozumienie odchylenia standardowego zbioru wartości jest przydatne, aby wiedzieć, jak duża różnica od "średniej" (mean) jest oczekiwana.

Pogoda

Jako prosty przykład, rozważmy średnie dzienne wysokie temperatury dla dwóch miast, jednego w głębi lądu, a drugiego w pobliżu oceanu. Dobrze jest zrozumieć, że zakres dziennych wysokich temperatur dla miast położonych w pobliżu oceanu jest mniejszy niż dla miast położonych w głębi lądu. Każde z tych dwóch miast może mieć taką samą średnią dzienną wysoką temperaturę. Jednak odchylenie standardowe dziennej wysokiej temperatury dla miasta nadmorskiego będzie mniejsze niż dla miasta położonego w głębi lądu.

Sport

Innym sposobem, aby to zobaczyć, jest rozważenie drużyn sportowych. W każdym sporcie znajdą się drużyny, które są dobre w niektórych rzeczach, a w innych nie. Drużyny, które zajmują najwyższe miejsca w rankingu nie wykazują dużych różnic w umiejętnościach. Radzą sobie dobrze w większości kategorii. Im niższe odchylenie standardowe ich umiejętności w każdej kategorii, tym bardziej są zrównoważone i spójne. Drużyny z wyższym odchyleniem standardowym będą jednak mniej przewidywalne. Drużyna, która zazwyczaj jest zła w większości kategorii, będzie miała niskie odchylenie standardowe. Drużyna, która jest zazwyczaj dobra w większości kategorii, również będzie miała niskie odchylenie standardowe. Jednakże, drużyna z wysokim odchyleniem standardowym może być typem drużyny, która zdobywa wiele punktów (silny atak), ale również pozwala drugiej drużynie zdobywać wiele punktów (słaba obrona).

Próbując dowiedzieć się z wyprzedzeniem, które drużyny wygrają, można spojrzeć na odchylenia standardowe różnych "statystyk" drużyn. Liczby, które różnią się od oczekiwanych, mogą odpowiadać mocnym i słabym stronom, aby pokazać, jakie powody mogą być najważniejsze w określeniu, która drużyna wygra.

W wyścigach mierzony jest czas, jaki kierowca potrzebuje na ukończenie każdego okrążenia wokół toru. Kierowca z niskim odchyleniem standardowym czasów okrążeń jest bardziej konsekwentny niż kierowca z wyższym odchyleniem standardowym. Ta informacja może być wykorzystana do zrozumienia, jak kierowca może skrócić czas potrzebny na ukończenie okrążenia.

Pieniądze

W pieniądzu odchylenie standardowe może oznaczać ryzyko, że cena wzrośnie lub spadnie (akcje, obligacje, nieruchomości itp.). Może również oznaczać ryzyko, że grupa cen pójdzie w górę lub w dół (aktywnie zarządzane fundusze inwestycyjne, indeksowe fundusze inwestycyjne lub ETF). Ryzyko jest jednym z powodów podejmowania decyzji o tym, co kupić. Ryzyko to liczba, którą ludzie mogą wykorzystać, aby dowiedzieć się, ile pieniędzy mogą zarobić lub stracić. W miarę wzrostu ryzyka, zwrot z inwestycji może być większy niż oczekiwany (odchylenie standardowe "plus"). Jednakże, inwestycja może również stracić więcej pieniędzy niż oczekiwano (odchylenie standardowe "minus").

Na przykład, dana osoba musiała wybrać pomiędzy dwoma akcjami. Akcje A w ciągu ostatnich 20 lat miały średnią stopę zwrotu w wysokości 10 procent, przy odchyleniu standardowym wynoszącym 20 punktów procentowych (pp). Akcja B w ciągu ostatnich 20 lat miała średnią stopę zwrotu w wysokości 12%, ale wyższe odchylenie standardowe wynoszące 30 punktów procentowych. Myśląc o ryzyku, osoba może zdecydować, że akcje A są bezpieczniejszym wyborem. Nawet jeśli nie zarobi tyle pieniędzy, prawdopodobnie nie straci też dużo pieniędzy. Osoba ta może myśleć, że Stock B's 2 punkt wyższa średnia nie jest warte dodatkowych 10 pp odchylenie standardowe (większe ryzyko lub niepewność oczekiwanego zwrotu).

Reguły dla liczb o rozkładzie normalnym

Większość równań matematycznych dla odchylenia standardowego zakłada, że liczby mają rozkład normalny. Oznacza to, że liczby są rozłożone w pewien sposób po obu stronach wartości średniej. Rozkład normalny jest również nazywany rozkładem gaussowskim, ponieważ został odkryty przez Carla Friedricha Gaussa. Często nazywany jest krzywą dzwonową, ponieważ liczby rozkładają się tak, że na wykresie mają kształt dzwonu.

Liczby nie mają rozkładu normalnego, jeśli są zgrupowane po jednej lub drugiej stronie wartości średniej. Liczby mogą być rozłożone i nadal być normalnie rozłożone. Odchylenie standardowe mówi, jak bardzo liczby są rozłożone.

Średnia i odchylenie standardowe zestawu danych są zazwyczaj zapisywane razem. Wtedy człowiek może zrozumieć, jaka jest średnia liczba i jak bardzo inne liczby w grupie są rozłożone.

Sposób rozłożenia grupy liczb może być również określony przez współczynnik zmienności, który jest odchyleniem standardowym podzielonym przez średnią. Jest to liczba bezwymiarowa. Współczynnik zmienności jest często mnożony przez 100% i zapisywany jako procent.

Termin odchylenie standardowe został po raz pierwszy użyty w formie pisemnej przez Karla Pearsona w 1894 roku, po tym jak używał go na wykładach. Był to zamiennik wcześniejszych nazw dla tej samej idei: na przykład Gauss używał błędu średniego.

• Dokładność i precyzja
• Wielkość próby