Odchylenie standardowe: definicja, interpretacja i zastosowania
Przegląd pojęcia odchylenia standardowego: definicja matematyczna, różnica między populacją a próbką, przykłady zastosowań i praktyczne wskazówki interpretacyjne.
Przegląd
Odchylenie standardowe to miara rozproszenia danych wokół wartości średniej. Informuje, jak bardzo poszczególne obserwacje różnią się od typowej wartości w zbiorze. Małe odchylenie standardowe oznacza, że większość pomiarów skupia się blisko średniej, podczas gdy duże wskazuje na większe zróżnicowanie. Aby zapoznać się z pojęciem średniej używanej przy obliczeniach, zobacz także średnia arytmetyczna.
Galeria obrazów
2 Obrazy
Definicja i wzór
Matematycznie odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. Dla populacji o N wartościach x_i i średniej µ wariancja to przeciętna z kwadratów odchyleń: wariancja = (1/N) Σ (x_i − µ)^2. Odchylenie standardowe populacji to σ = sqrt((1/N) Σ (x_i − µ)^2). W praktyce często używa się zapisu opisowego: odchylenie standardowe określa przeciętne odchylenie pojedynczej obserwacji od wartości oczekiwanej.
Populacja versus próbka
W badaniach rzadko dysponuje się pełną populacją; zwykle analizuje się próbkę. Przy obliczaniu odchylenia standardowego próbki stosuje się drobną korektę (dzielenie przez n−1 zamiast n), co daje nieobciążony estymator wariancji. Ten wariant związany jest z pojęciem stopni swobody i ma na celu lepsze przybliżenie odchylenia populacji na podstawie ograniczonej liczby obserwacji. Więcej informacji o metodologii próbkowania można znaleźć pod próbka.
Zastosowania i interpretacja
- W naukach przyrodniczych i społecznych odchylenie standardowe informuje o wiarygodności średniej i zmienności wyników eksperymentów; naukowcy często uznają różnice znaczące, gdy przekraczają wielokrotność odchylenia standardowego.
- W finansach odchylenie standardowe mierzy zmienność stóp zwrotu: większe odchylenie oznacza wyższe ryzyko inwestycyjne.
- W kontroli jakości i inżynierii służy do oceniania, czy parametry procesu mieszczą się w dopuszczalnych granicach.
Dla kontekstu praktycznego przydatne są tabele i reguły empiryczne pokazujące, jaką część danych obejmuje pewna liczba odchyleń standardowych od średniej; w typowym rozkładzie normalnym znaczna część obserwacji znajduje się w bliskich zakresach.
Historia i uwagi praktyczne
Pojęcie odchylenia standardowego rozwinęło się wraz z teorią wariancji i analizą danych w XIX i XX wieku. W praktyce należy pamiętać, że odchylenie standardowe jest wrażliwe na obserwacje odstające (outliery) i sam w sobie nie rozróżnia przyczyn zmienności. Dlatego często stosuje się je razem z innymi miarami, jak mediana, kwartyle lub współczynnik zmienności, oraz z wizualizacjami rozkładu.
Ważne rozróżnienia
Warto odróżnić odchylenie standardowe od wariancji (wariancja ma jednostki kwadratowe względem danych) oraz od standardowego błędu średniej (który opisuje niepewność estymacji średniej, a nie rozrzut pojedynczych obserwacji). Dla dalszych wyjaśnień i przykładów obliczeń odsyłam do materiałów dydaktycznych i podręczników statystyki: zobacz interpretacja wyników oraz metody statystyczne. Dodatkowe przykłady zastosowań praktycznych dostępne są pod zastosowania finansowe.
Przykład podstawowy
Rozważmy grupę, która ma osiem następujących liczb:
2 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7 , 9 {{displaystyle 2,™ 4,™ 4,™ 5,™ 5,™ 7,™ 9} 
Tych osiem liczb ma średnią wartość 5:
2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 8 = 5 { {frac {2+4+4+5+5+7+9}{8}}=5}. 
Aby obliczyć odchylenie standardowe populacji, należy najpierw znaleźć różnicę każdej liczby na liście od średniej. Następnie podnieś do kwadratu wynik każdej z różnic:
5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16\\\end{array}}} 
Następnie znajdź średnią z tych wartości (suma podzielona przez liczbę liczb). Na koniec, weź pierwiastek kwadratowy:
( 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 ) 8 = 2 { {frac {(9+1+1+0+0+4+16)}{8}}}=2}. 
Odpowiedź to odchylenie standardowe populacji. Wzór jest prawdziwy tylko wtedy, gdy te osiem liczb, od których zaczęliśmy, to cała grupa. Jeśli jest to tylko część grupy wybrana losowo, to w dolnej części (mianowniku) przedostatniego kroku powinniśmy użyć 7 (czyli n - 1) zamiast 8 (czyli n). Wtedy odpowiedzią jest odchylenie standardowe próby. Jest to tzw. poprawka Bessela.
Więcej przykładów
Nieco trudniejszy, rzeczywisty przykład: Średni wzrost dla dorosłych mężczyzn w Stanach Zjednoczonych wynosi 70", z odchyleniem standardowym 3". Odchylenie standardowe 3" oznacza, że większość mężczyzn (około 68%, zakładając rozkład normalny) ma wzrost o 3" wyższy do 3" niższy od średniej (67"-73") - jedno odchylenie standardowe. Prawie wszyscy mężczyźni (ok. 95%) mają wzrost o 6" wyższy do 6" niższy od przeciętnego (64"-76") - dwa odchylenia standardowe. Trzy odchylenia standardowe zawierają wszystkie liczby dla 99,7% badanej populacji próby. Jest to prawdą, jeśli rozkład jest normalny (dzwonowaty).
Gdyby odchylenie standardowe wynosiło zero, wówczas wszyscy mężczyźni mieliby dokładnie 70" wzrostu. Jeśli odchylenie standardowe wynosiłoby 20", wtedy niektórzy mężczyźni byliby znacznie wyżsi lub znacznie niżsi od średniej, z typowym zakresem około 50"-90".
Dla innego przykładu, każda z trzech grup {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} i {6, 6, 8, 8} ma średnią (średnią) 7. Ale ich odchylenia standardowe wynoszą 7, 5 i 1. Trzecia grupa ma znacznie mniejsze odchylenie standardowe niż pozostałe dwie, ponieważ wszystkie jej liczby są bliskie 7. Podstawową ideą jest to, że odchylenie standardowe mówi nam, jak daleko od średniej reszta liczb ma tendencję do być. To będzie mieć te same jednostki, jak same liczby. Jeżeli, na przykład, grupa {0, 6, 8, 14} jest wiekiem grupy czterech braci w latach, średnia wynosi 7 lat, a odchylenie standardowe 5 lat.
Odchylenie standardowe może służyć jako miara niepewności. W nauce, na przykład, odchylenie standardowe grupy powtarzanych pomiarów pomaga naukowcom wiedzieć, jak pewni są średniej liczby. Przy podejmowaniu decyzji, czy pomiary z eksperymentu zgadzają się z przewidywaniami, odchylenie standardowe tych pomiarów jest bardzo ważne. Jeśli średnia liczba z eksperymentów jest zbyt odległa od przewidywanej (przy czym odległość tę mierzy się w odchyleniach standardowych), to testowana teoria może nie być słuszna. Zobacz przedział predykcji.
Przykłady zastosowań
Zrozumienie odchylenia standardowego zbioru wartości jest przydatne, aby wiedzieć, jak duża różnica od "średniej" (mean) jest oczekiwana.
Pogoda
Jako prosty przykład, rozważmy średnie dzienne wysokie temperatury dla dwóch miast, jednego w głębi lądu, a drugiego w pobliżu oceanu. Dobrze jest zrozumieć, że zakres dziennych wysokich temperatur dla miast położonych w pobliżu oceanu jest mniejszy niż dla miast położonych w głębi lądu. Każde z tych dwóch miast może mieć taką samą średnią dzienną wysoką temperaturę. Jednak odchylenie standardowe dziennej wysokiej temperatury dla miasta nadmorskiego będzie mniejsze niż dla miasta położonego w głębi lądu.
Sport
Innym sposobem, aby to zobaczyć, jest rozważenie drużyn sportowych. W każdym sporcie znajdą się drużyny, które są dobre w niektórych rzeczach, a w innych nie. Drużyny, które zajmują najwyższe miejsca w rankingu nie wykazują dużych różnic w umiejętnościach. Radzą sobie dobrze w większości kategorii. Im niższe odchylenie standardowe ich umiejętności w każdej kategorii, tym bardziej są zrównoważone i spójne. Drużyny z wyższym odchyleniem standardowym będą jednak mniej przewidywalne. Drużyna, która zazwyczaj jest zła w większości kategorii, będzie miała niskie odchylenie standardowe. Drużyna, która jest zazwyczaj dobra w większości kategorii, również będzie miała niskie odchylenie standardowe. Jednakże, drużyna z wysokim odchyleniem standardowym może być typem drużyny, która zdobywa wiele punktów (silny atak), ale również pozwala drugiej drużynie zdobywać wiele punktów (słaba obrona).
Próbując dowiedzieć się z wyprzedzeniem, które drużyny wygrają, można spojrzeć na odchylenia standardowe różnych "statystyk" drużyn. Liczby, które różnią się od oczekiwanych, mogą odpowiadać mocnym i słabym stronom, aby pokazać, jakie powody mogą być najważniejsze w określeniu, która drużyna wygra.
W wyścigach mierzony jest czas, jaki kierowca potrzebuje na ukończenie każdego okrążenia wokół toru. Kierowca z niskim odchyleniem standardowym czasów okrążeń jest bardziej konsekwentny niż kierowca z wyższym odchyleniem standardowym. Ta informacja może być wykorzystana do zrozumienia, jak kierowca może skrócić czas potrzebny na ukończenie okrążenia.
Pieniądze
W pieniądzu odchylenie standardowe może oznaczać ryzyko, że cena wzrośnie lub spadnie (akcje, obligacje, nieruchomości itp.). Może również oznaczać ryzyko, że grupa cen pójdzie w górę lub w dół (aktywnie zarządzane fundusze inwestycyjne, indeksowe fundusze inwestycyjne lub ETF). Ryzyko jest jednym z powodów podejmowania decyzji o tym, co kupić. Ryzyko to liczba, którą ludzie mogą wykorzystać, aby dowiedzieć się, ile pieniędzy mogą zarobić lub stracić. W miarę wzrostu ryzyka, zwrot z inwestycji może być większy niż oczekiwany (odchylenie standardowe "plus"). Jednakże, inwestycja może również stracić więcej pieniędzy niż oczekiwano (odchylenie standardowe "minus").
Na przykład, dana osoba musiała wybrać pomiędzy dwoma akcjami. Akcje A w ciągu ostatnich 20 lat miały średnią stopę zwrotu w wysokości 10 procent, przy odchyleniu standardowym wynoszącym 20 punktów procentowych (pp). Akcja B w ciągu ostatnich 20 lat miała średnią stopę zwrotu w wysokości 12%, ale wyższe odchylenie standardowe wynoszące 30 punktów procentowych. Myśląc o ryzyku, osoba może zdecydować, że akcje A są bezpieczniejszym wyborem. Nawet jeśli nie zarobi tyle pieniędzy, prawdopodobnie nie straci też dużo pieniędzy. Osoba ta może myśleć, że Stock B's 2 punkt wyższa średnia nie jest warte dodatkowych 10 pp odchylenie standardowe (większe ryzyko lub niepewność oczekiwanego zwrotu).
Reguły dla liczb o rozkładzie normalnym
Większość równań matematycznych dla odchylenia standardowego zakłada, że liczby mają rozkład normalny. Oznacza to, że liczby są rozłożone w pewien sposób po obu stronach wartości średniej. Rozkład normalny jest również nazywany rozkładem gaussowskim, ponieważ został odkryty przez Carla Friedricha Gaussa. Często nazywany jest krzywą dzwonową, ponieważ liczby rozkładają się tak, że na wykresie mają kształt dzwonu.
Liczby nie mają rozkładu normalnego, jeśli są zgrupowane po jednej lub drugiej stronie wartości średniej. Liczby mogą być rozłożone i nadal być normalnie rozłożone. Odchylenie standardowe mówi, jak bardzo liczby są rozłożone.
Zależność między średnią (mean) a odchyleniem standardowym (standard deviation)
Średnia i odchylenie standardowe zestawu danych są zazwyczaj zapisywane razem. Wtedy człowiek może zrozumieć, jaka jest średnia liczba i jak bardzo inne liczby w grupie są rozłożone.
Sposób rozłożenia grupy liczb może być również określony przez współczynnik zmienności, który jest odchyleniem standardowym podzielonym przez średnią. Jest to liczba bezwymiarowa. Współczynnik zmienności jest często mnożony przez 100% i zapisywany jako procent.
Historia
Termin odchylenie standardowe został po raz pierwszy użyty w formie pisemnej przez Karla Pearsona w 1894 roku, po tym jak używał go na wykładach. Był to zamiennik wcześniejszych nazw dla tej samej idei: na przykład Gauss używał błędu średniego.
Powiązane strony
- Dokładność i precyzja
- Wielkość próby
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest odchylenie standardowe?
O: Odchylenie standardowe jest liczbą używaną do określenia, jak bardzo pomiary dla danej grupy są rozłożone od średniej (średniej lub wartości oczekiwanej).
P: Co oznacza niskie odchylenie standardowe?
O: Niskie odchylenie standardowe oznacza, że większość liczb jest zbliżona do średniej.
P: Co oznacza wysokie odchylenie standardowe?
A: Wysokie odchylenie standardowe oznacza, że liczby są bardziej rozłożone.
P: Jak wykorzystuje się odchylenie standardowe w pieniądzu?
O: W pieniądzu, odchylenie standardowe dla zarobionych odsetek pokazuje, jak bardzo zarobione odsetki jednej osoby mogą się różnić od średniej.
P: Kiedy można zmierzyć tylko część grupy?
O: Często można zmierzyć tylko próbkę lub część grupy.
P: Jak przedstawia się odchylenie standardowe całej grupy?
O: Odchylenie standardowe całej grupy jest reprezentowane przez grecką literę َ {sigma }. .
P: Jak przedstawia się odchylenie standardowe próbki?
O: Odchylenie standardowe próbki jest reprezentowane przez s {{displaystyle s}} .
Powiązane artykuły
Autor
AlegsaOnline.com Odchylenie standardowe: definicja, interpretacja i zastosowania Leandro Alegsa
URL: https://pl.alegsaonline.com/art/93321
Źródła
- edupristine.com : "What is Standard Deviation"
- jeff560.tripod.com : "Earliest known uses of some of the words of mathematics"