Polarny moment bezwładności

Uwaga: Różne dyscypliny używają terminu "moment bezwładności" w odniesieniu do różnych momentów. W fizyce moment bezwładności jest ściśle drugim momentem masy w stosunku do odległości od osi, który charakteryzuje przyspieszenie kątowe obiektu spowodowane przyłożonym momentem. W inżynierii (zwłaszcza mechanicznej i lądowej) moment bezwładności odnosi się zwykle do drugiego momentu powierzchniowego. Odczytując biegunowy moment bezwładności należy sprawdzić, czy odnosi się on do "drugiego biegunowego momentu bezwładności powierzchni", a nie do momentu bezwładności. Drugi polarny moment bezwładności powierzchni będzie miał jednostki długości do czwartej potęgi (np. m 4 {\i1}wysp. m^{\i0} $m^{4}$ lub i w 4 {\i1}wysp. in^{\i0}} $in^{4}$ ), podczas gdy moment bezwładności jest masą razy długość kwadratu (np. k g ∗ m 2 {\i1}wysp. kg*m^{\i0}} $kg*m^{2}$ lub l b ∗ i w 2 {\i1}wysp. lb* w^{\i2}). $lb*in^{2}$ ).

Polarny drugi moment bezwładności jest miarą zdolności obiektu do oparcia się skręcaniu w funkcji jego kształtu. Jest to jeden z aspektów drugiego momentu bezwładności powierzchniowego połączonego tezą o osi prostopadłej, w której drugi moment bezwładności płaski wykorzystuje kształt przekroju poprzecznego belki do opisania jej odporności na odkształcenia (zginanie) pod wpływem siły przyłożonej w płaszczyźnie równoległej do jej osi neutralnej, drugi moment bezwładności płaski wykorzystuje kształt przekroju poprzecznego belki do opisania jej odporności na odkształcenia (skręcanie) pod wpływem momentu bezwładnościowego w płaszczyźnie prostopadłej do jej osi neutralnej. Podczas gdy planarny drugi moment powierzchniowy jest najczęściej oznaczany literą I {\i0}, drugi moment powierzchniowy jest najczęściej oznaczany literą I z {\i0}. $I_{z}$ albo listu, J. $J$ w podręcznikach inżynieryjnych.

Obliczone wartości drugiego momentu biegunowego powierzchni najczęściej opisują odporność na skręcanie wału cylindrycznego pełnego lub drążonego, jak w przypadku osi lub wału napędowego pojazdu. W przypadku zastosowania do belek lub wałów niecylindrycznych, obliczenia dla drugiego momentu polarnego powierzchni stają się błędne z powodu wypaczenia wału/ belki. W takich przypadkach należy zastosować stałą skrętną, w której do obliczeń wartości dodawana jest stała korekcyjna.

Polarny drugi moment pola przenosi jednostki długości do czwartej potęgi ( L 4 {\i1} $L^{4}$ ); metry do czwartej potęgi ( m 4 {\i1} $m^{4}$ ) w systemie jednostek metrycznych, a cale do czwartej potęgi ( i n 4 {\i1} $in^{4}$ ) w systemie jednostek imperialnych. Wzór matematyczny do obliczeń bezpośrednich jest podany jako wielokrotność całki nad obszarem kształtu, R {\i1}. $R$ w pewnej odległości $\rho$ od dowolnej osi O $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\i1}=iint \i1}limits _{R}\i1}rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

W najprostszej formie, biegunowy drugi moment powierzchni jest sumą dwóch planarnych drugich momentów powierzchni, I x {\i1} $I_{x}$ i I y {\i1}{\i1}{\i1} $I_{y}$ . Używając pitagorejskiego twierdzenia, dystans od osi O {\i1} $O$ ρ {y:i}...stylistykę... ... $\rho$ może być włamany do swoich x $x$ {\i1}i y $y$ {\i1}składników, a zmiana obszaru, d A {\i1} $dA$ ...włamany do swoich x $x$ {\i1}i y $y$ {\i1}składników, d x {\i1}i d y {\i1}displaystylu dx}i $dx$ d y {\i1}displaystylu dyni} $dy$ ...{\i0}

Biorąc pod uwagę dwie formuły dla planarnego drugiego momentu obszaru:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\i1}= \i1}iint \i1}limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ and I y = ∬ R y 2 d x d y {\i1}displaystyle I_{y}= {\i1}iint \i0}limits _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

Stosunek do drugiego momentu polarnego powierzchni może być pokazany jako:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\i1}=iint \i1}limits _{R} \i1}rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\i0}= \i1}iint \i1}limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\i1}= \i1}iint \i1}limits _{R}x^{2}dxdy+ \iint \i1}limits _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\i1}{\i1}Displaystyle \i0}Therefore J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

Zasadniczo, wraz ze wzrostem wielkości drugiego momentu biegunowego powierzchni (tj. kształtu przekroju dużego obiektu), konieczny będzie większy moment obrotowy, aby spowodować ugięcie skrętne obiektu. Należy jednak zauważyć, że nie ma to żadnego wpływu na sztywność skrętną zapewnianą obiektowi przez jego materiały składowe; drugi moment polarny powierzchni jest po prostu sztywnością zapewnianą obiektowi przez sam jego kształt. Sztywność skrętna wynikająca z właściwości materiału nazywana jest modułem sprężystości przy ścinaniu, G {\i0} $G$ . Łącząc te dwa składniki sztywności, można obliczyć kąt skręcenia belki, θ {\i1}. $\theta$ za pomocą:

θ = T l J G {\i1} {\i1}Displaystyle {\i0}theta =frac {\i0}{\i1}{\i1} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Gdzie T (styropian T $T$ ) to przyłożony moment (moment obrotowy), a l (styropian $l$ l) to długość wiązki. Jak pokazano na rysunku, wyższe momenty obrotowe i długości belek prowadzą do większych ugięć kątowych, gdzie wyższe wartości dla drugiego momentu biegunowego powierzchni, J {\i1>wyświetlacz J} $J$ i moduł ścinania materiału, G. ... $G$ redukuje potencjał odchyleń kątowych.

Schemat pokazujący jak obliczany jest drugi biegunowy moment bezwładności powierzchni ("Polar Moment Bezwładności") dla dowolnego kształtu powierzchni, R, wokół osi o, gdzie ρ jest odległością promieniową od elementu dA.

Powiązane strony

Moment (fizyka)
Drugi moment obszaru
Lista drugich momentów powierzchni dla kształtów standardowych
Moduł sprężystości poprzecznej

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest moment bezwładności w fizyce?

O: W fizyce moment bezwładności to ściśle mówiąc drugi moment masy w odniesieniu do odległości od osi, który charakteryzuje przyspieszenie kątowe obiektu w wyniku przyłożonego momentu obrotowego.

P: Do czego odnosi się biegunowy drugi moment powierzchni w inżynierii?

O: W inżynierii (zwłaszcza mechanicznej i cywilnej) moment bezwładności odnosi się do drugiego momentu powierzchni. Czytając o polarnym momencie bezwładności należy sprawdzić, czy mowa jest o "polarnym drugim momencie powierzchni", a nie o momencie bezwładności. Polarny drugi moment powierzchni będzie miał jednostki długości do czwartej potęgi (np. m^4 lub in^4).

P: Jak obliczyć biegunowy drugi moment powierzchni?

O: Wzór matematyczny do bezpośredniego obliczenia jest podany jako całka wielokrotna z powierzchni kształtu, R, w odległości ρ od dowolnej osi O. J_O=∬Rρ2dA. W najprostszej formie, druga biegunowa