Inne znaczenia tego słowa - patrz: tożsamość.

W matematyce pojęcie tożsamości ma kilka ważnych zastosowań:

  • Tożsamość to równość, która pozostaje prawdziwa, nawet jeśli zmienisz wszystkie zmienne, które są używane w tej równości.

Definicja

Tożsamością nazywamy równość dwóch wyrażeń matematycznych, która jest prawdziwa dla wszystkich wartości zmiennych należących do rozważanego zbioru (dziedziny). Innymi słowy, jeśli dla każdego dopuszczalnego podstawienia zmiennych lewa i prawa strona równości są równe, mamy do czynienia z tożsamością.

Przykładowo, wyrażenie sin²x + cos²x = 1 jest tożsamością trygonometryczną, ponieważ zachodzi dla wszystkich x (z odpowiednią interpretacją funkcji trygonometrycznych). Z kolei równanie x² + 1 = 0 nie jest tożsamością w zbiorze liczb rzeczywistych, bo nie istnieje żadne rzeczywiste x spełniające je — a więc nie jest prawdziwe dla wszystkich wartości zmiennej.

Rodzaje tożsamości

  • Algebraiczne — np. (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², a² − b² = (a − b)(a + b).
  • Trygonometryczne — np. sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x, wzory na kąty podwojone i sumę kątów.
  • Funkcyjne — równość dwóch funkcji f(x) = g(x) dla wszystkich x z dziedziny (np. wielomiany identyczne, gdy współczynniki odpowiadających potęg są równe).
  • Identyczność liniowa i macierzowa — w algebrze liniowej, np. I·A = A dla macierzy A, gdzie I to macierz jednostkowa (tutaj słowo „tożsamość” pojawia się też w znaczeniu elementu neutralnego).

Jak rozróżnić tożsamość od zwykłego równania?

  • Równanie: prawdziwe dla niektórych wartości zmiennych (ma rozwiązania), np. x² = 4 (x = ±2).
  • Tożsamość: prawdziwa dla wszystkich wartości zmiennych z rozważanej dziedziny, np. (x + 1)² = x² + 2x + 1.

W praktyce, aby sprawdzić czy dana równość jest tożsamością, wystarczy wykazać, że różnica między lewą a prawą stroną jest identycznie równa zero na całej dziedzinie (np. przez uproszczenie czy sprowadzenie do równości wielomianów o równych współczynnikach).

Metody dowodzenia tożsamości

  • Uporządkowane przekształcenia algebraiczne: sprowadzenie jednej strony do postaci drugiej lub uproszczenie różnicy LHS − RHS do 0.
  • Porównywanie współczynników: przy tożsamościach wielomianowych porównuje się współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej.
  • Podstawianie i przekształcenia trygonometryczne: przy tożsamościach trygonometrycznych często modyfikuje się jedną stronę korzystając z już znanych wzorów (np. zamiana tan na sin/cos, zastosowanie wzorów podwojonego kąta).
  • Analiza funkcjonalna: wykazanie, że f(x) − g(x) jest funkcją zerową (np. identycznie zero przez dowód indukcyjny, rozwinięcie w szereg, własności analityczne).

Przykłady z rozwiązaniem

  • (a + b)² = a² + 2ab + b² — dowód: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
  • sin²x + cos²x = 1 — dowód: wynika bezpośrednio z definicji funkcji sin i cos dla trójkąta jednostkowego lub z identyczności e^{ix} = cos x + i sin x (moduł obu stron).
  • Tożsamość wielomianowa: jeśli dla wszystkich x mamy P(x) = Q(x) i P, Q są wielomianami, to współczynniki są równe — stąd P − Q = 0 (wielomian zerowy).

Własności i zastosowania

  • Tożsamości ułatwiają upraszczanie wyrażeń i obliczeń (np. rozwiązywanie całek, rachunek różniczkowy, transformacje algebraiczne).
  • Służą jako narzędzie do dowodzenia innych zależności oraz do weryfikacji poprawności przekształceń.
  • W analizie funkcjonalnej i teorii równań różniczkowych rozpoznawanie tożsamości pomaga określić strukturę rozwiązań.
  • W geometrii i trygonometrii tożsamości pozwalają na redukcję złożonych wyrażeń do prostszych form, ułatwiając rozwiązywanie zadań.

Uwagi praktyczne

  • Dziedzina: przy badaniu tożsamości zawsze trzeba pamiętać o dziedzinie wyrażeń — niektóre przekształcenia (np. dzielenie przez wyrażenie zawierające zmienną) mogą zmieniać dopuszczalne podstawienia. Tożsamość musi być prawdziwa na całej rozważanej dziedzinie.
  • Symbol ≡: czasem używa się symbolu ≡ do oznaczania tożsamości (np. f(x) ≡ g(x)). Należy uważać, ponieważ ten sam symbol bywa używany także w teorii liczb do oznaczania kongruencji modulo n — kontekst decyduje o znaczeniu.
  • Nie mylić z funkcją identycznościową: w niektórych działach matematyki słowo „tożsamość” pojawia się w innych znaczeniach (np. funkcja identycznościowa id(x) = x). Pierwszy akapit tego artykułu zawiera odnośnik do innych znaczeń — patrz: tożsamość.

Podsumowanie

Tożsamość matematyczna to równość prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych. Rozróżnienie tożsamości od zwykłego równania, poprawne określenie dziedziny oraz umiejętność dowodzenia (przez przekształcenia, porównywanie współczynników lub inne metody) są podstawowymi umiejętnościami w algebrze, trygonometrii i analizie matematycznej.