Tożsamość (matematyka)

Przykłady

Relacja tożsamości

Popularnym przykładem pierwszego znaczenia jest tożsamość trygonometryczna

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 { {displaystyle \sin ^{2}theta + \cos ^{2}theta =1 }

co jest prawdą dla wszystkich rzeczywistych wartości θ (ponieważ liczby rzeczywiste R są dziedziną sin i cos). (ponieważ liczby rzeczywiste R {{displaystyle {R}}} są dziedziną sin i cos), w przeciwieństwie do

cos θ = 1 , {displaystyle \cos \theta =1,}

co jest prawdą tylko dla wartości θ {theta } w podzbiorze dziedziny.

Element tożsamości

Pojęcia "tożsamości addytywnej" i "tożsamości multiplikatywnej" są centralnymi pojęciami aksjomatów Peano. Liczba 0 jest "tożsamością addytywną" dla liczb całkowitych, rzeczywistych i zespolonych. Dla liczb rzeczywistych, dla wszystkich a ∈ R , {displaystyle a w {mathb {R}},}

0 + a = a , { {displaystyle 0+a=a,}

a + 0 = a , {displaystyle a+0=a,} oraz

0 + 0 = 0. {{displaystyle 0+0=0.}

Podobnie liczba 1 jest "tożsamością multiplikatywną" dla liczb całkowitych, rzeczywistych i zespolonych. Dla liczb rzeczywistych, dla wszystkich a ∈ R , {displaystyle a w {mathb {R}},}

1 × a = a , {{displaystyle 1 × a=a,}

a × 1 = a , {przykład: a × 1=a,} oraz

1 × 1 = 1. {displaystyle 1 razy 1=1.}

Funkcja tożsamości

Popularnym przykładem funkcji tożsamości jest permutacja tożsamości, która wysyła każdy element zbioru { 1 , 2 , ... , n } do siebie samego. {{1,2,kropki,n}} do samego siebie.

Porównanie

Te znaczenia nie wykluczają się wzajemnie; na przykład permutacja tożsamościowa jest elementem tożsamościowym w zbiorze permutacji { 1 , 2 , ... , n } {{1,2,\dots ,n}} pod względem kompozycji.