Złożenie funkcji
W matematyce skład funkcji jest sposobem na stworzenie nowej funkcji z dwóch innych funkcji.
Jeśli pozwolimy, aby f było funkcją od X do Y, a g było funkcją od Y do Z, wówczas mówimy, że g złożone z f jest napisane jako g ∘ f funkcja od X do Z (zauważ, że zwykle jest napisane w sposób odwrotny do tego, jak ludzie by tego oczekiwali, jak wyjaśnimy poniżej).
Wartość f podana na wejściu x jest zapisana jako f(x). Wartość g ∘ f podana na wejściu x jest zapisana (g ∘ f)(x) i jest określona jako g(f(x)). (co oznacza, że nasz sposób pisania g skomponowanego z f ma sens).
Oto kolejny przykład. Niech f będzie funkcją, która podwaja liczbę (mnożąc ją przez 2), a niech g będzie funkcją, która odejmuje 1 od liczby.
Te byłyby napisane jako:
f ( x ) = 2 x {\i1}styk styropianu f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\i1} styropian g(x)=x-1} 
g złożone z f byłoby funkcją, która podwaja liczbę, a następnie odejmuje od niej 1:
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\i1} styropian (g\i1 f)(x)=2x-1} 
f złożone z g byłoby funkcją, która odejmuje 1 od liczby, a następnie podwaja ją:
Właściwości
Skład funkcji można udowodnić jako asocjacyjny, co oznacza:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\i1}styk stylistyczny f\i0}circ ( g\i0} h)=(f\i0}circ g)\i0}circ h} 
Skład funkcji zasadniczo nie jest jednak komutatywny, co oznacza:
f ∘ g ≠ g ∘ f \isplaystyle f\circ g\neq g\circ f} 
Widać to w pierwszym przykładzie, gdzie (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 i (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest kompozycja funkcji?
O: Kompozycja funkcji to sposób tworzenia nowej funkcji z dwóch innych funkcji poprzez proces podobny do łańcucha.
P: Jak zapisuje się wartość g złożoną z f?
O: Wartość g złożoną z f zapisuje się jako (g ∘ f)(x) i definiuje jako g(f(x)).
P: Jakie są przykłady funkcji?
O: Przykładem może być funkcja, która podwaja liczbę (mnoży ją przez 2) i inna, która odejmuje 1 od liczby.
P: Jaki byłby przykład g złożonego z f?
O: Przykładem g złożonego z f byłaby funkcja, która podwaja liczbę, a następnie odejmuje od niej 1. Czyli (g ∘ f)(x)=2x-1.
P: Jaki byłby przykład f złożonego z g?
O: Przykładem f złożonego z g byłaby funkcja, która odejmuje od liczby 1, a następnie ją podwaja; to jest (f ∘ g)(x)=2(x-1).
P: Czy kompozycję można uogólnić również na relacje binarne?
O: Tak, kompozycję można również uogólnić na relacje binarne, gdzie czasami przedstawia się ją za pomocą tego samego symbolu (jak w R ∘ S).
