Złożenie funkcji — definicja, własności i przykłady
Przegląd pojęcia złożenia funkcji: definicja, warunki istnienia, własności (asocjatywność, niezmienniczość względem kolejności), tożsamość, odwrotność oraz przykłady i zastosowania.
W matematyce skład funkcji to operacja tworzenia nowej funkcji z zastosowania jednej funkcji do wyniku drugiej. Jeśli f: X → Y oraz g: Y → Z, to złożenie g ∘ f jest funkcją z X do Z określoną wzorem (g ∘ f)(x) = g(f(x)). Kluczowe jest, by wartości przyjmowane przez f należały do dziedziny funkcji g — bez zgodności dziedziny i przeciwdziedziny złożenie nie ma sensu.
Definicja i zapis
Formalnie: niech f będzie funkcją z X do Y, a g funkcją z Y do Z. Wtedy g ∘ f: X → Z jest daną regułą x ↦ g(f(x)). Często spotyka się zapis funkcyjny: f(x) i (g ∘ f)(x). W praktyce kolejność zapisu g ∘ f oznacza najpierw zastosowanie f, potem g — co bywa źródłem nieporozumień dla początkujących. W niektórych kontekstach (np. w algebrze liniowej) używa się też zapisu gf zamiast g ∘ f.
Wymagania dotyczące dziedziny i przeciwdziedziny
Do poprawnego złożenia potrzebne jest, aby obrazy f leżały w dziedzinie g. Dokładniej: jeśli f: X → Y i g: U → Z oraz f(X) ⊆ U, to g ∘ f jest dobrze określone jako funkcja X → Z. Jeśli ta zgodność nie zachodzi, można rozważać złożenie jedynie na podzbiorze X, na którym obrazy f mieszczą się w U. Problemy z dziedziną pojawiają się szczególnie przy funkcjach rzeczywistych zawierających pierwiastki czy logarytmy.
Główne własności
- Asocjatywność: (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f), gdy wszystkie trzy złożenia są sensowne.
- Brak przemienności: zazwyczaj g ∘ f ≠ f ∘ g; kolejność ma znaczenie.
- Funkcja identycznościowa: dla zbioru X istnieje id_X taka, że id_X ∘ f = f i f ∘ id_X = f dla każdej f: X → X.
- Odwrotność: jeżeli f jest bijekcją, istnieje f^{-1} spełniające f^{-1} ∘ f = id i f ∘ f^{-1} = id.
Przykłady
Rozważmy proste funkcje na liczbach rzeczywistych: f(x) = 2x oraz g(x) = x - 1. Wtedy (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = 2x - 1 — najpierw podwajamy, potem odejmujemy 1. Odwrotnie (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 2(x - 1) = 2x - 2 — najpierw odejmujemy, potem podwajamy, co daje inny wynik. Ilustracje tych funkcji można znaleźć przy pomocy wykresów: 
pokazuje f, 
pokazuje g, a 
wykres złożenia g ∘ f.
Zastosowania i dalsze uwagi
Skład funkcji jest podstawowym narzędziem w wielu działach matematyki i informatyki. W rachunku różniczkowym pojawia się w regule łańcuchowej, która opisuje pochodną złożenia funkcji. W teorii funkcji, algebrze i teorii kategorii skład jest podstawową operacją łączącą morfizmy. W programowaniu operacje mapowania i łączenia funkcji funkcyjnych wykorzystują to samo pojęcie w praktyce. Dla dalszego czytania dotyczącego struktury i zastosowań składów warto sięgnąć do materiałów wprowadzających: podstawy, przykłady i reguła łańcuchowa. Przy praktycznych obliczeniach pomocne są również omówienia dotyczące dziedzin i wyjątków: problemy z dziedziną oraz formalne ujęcie odwrotności i tożsamości: funkcje odwracalne.
Właściwości
Skład funkcji można udowodnić jako asocjacyjny, co oznacza:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\i1}styk stylistyczny f\i0}circ ( g\i0} h)=(f\i0}circ g)\i0}circ h} 
Skład funkcji zasadniczo nie jest jednak komutatywny, co oznacza:
f ∘ g ≠ g ∘ f \isplaystyle f\circ g\neq g\circ f} 
Widać to w pierwszym przykładzie, gdzie (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 i (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest kompozycja funkcji?
O: Kompozycja funkcji to sposób tworzenia nowej funkcji z dwóch innych funkcji poprzez proces podobny do łańcucha.
P: Jak zapisuje się wartość g złożoną z f?
O: Wartość g złożoną z f zapisuje się jako (g ∘ f)(x) i definiuje jako g(f(x)).
P: Jakie są przykłady funkcji?
O: Przykładem może być funkcja, która podwaja liczbę (mnoży ją przez 2) i inna, która odejmuje 1 od liczby.
P: Jaki byłby przykład g złożonego z f?
O: Przykładem g złożonego z f byłaby funkcja, która podwaja liczbę, a następnie odejmuje od niej 1. Czyli (g ∘ f)(x)=2x-1.
P: Jaki byłby przykład f złożonego z g?
O: Przykładem f złożonego z g byłaby funkcja, która odejmuje od liczby 1, a następnie ją podwaja; to jest (f ∘ g)(x)=2(x-1).
P: Czy kompozycję można uogólnić również na relacje binarne?
O: Tak, kompozycję można również uogólnić na relacje binarne, gdzie czasami przedstawia się ją za pomocą tego samego symbolu (jak w R ∘ S).
Powiązane artykuły
Autor
AlegsaOnline.com Złożenie funkcji — definicja, własności i przykłady Leandro Alegsa
URL: https://pl.alegsaonline.com/art/37014
Źródła
- proofwiki.org : proofwiki.org