Statystyka Fermi–Diraca: rozkład fermionów w termodynamice kwantowej

Podstawowe założenia

• Zasada wykluczania Pauliego: w jednym stanie kwantowym może znajdować się co najwyżej jedna cząstka o danym zestawie liczb kwantowych — zob. zasada wykluczania Pauliego.
• Nieodróżnialność cząstek: permutacja dwóch identycznych fermionów nie tworzy nowego stanu; układ traktowany jest zgodnie z zasadami symetrii funkcji falowej dla fermionów.

Rozkład Fermiego

Rozkład Fermiego–Diraca określa średnie obsadzenie stanu energetycznego przez fermion przy danej temperaturze i chemicznym potencjale. Funkcja obsadzenia ma postać:

f(E) = 1 / (exp[(E − μ)/(k_B T)] + 1),

gdzie μ to potencjał chemiczny (przy T → 0 równa się energii Fermiego), k_B to stała Boltzmanna, a T — temperatura. Daje to prawdopodobieństwo obsadzenia stanu energetycznego przez jedną cząstkę fermionową.

Własności i konsekwencje

• Degeneracja fermionowa: przy niskich temperaturach obsadzenie stanów poniżej energii Fermiego jest bliskie 1, a powyżej bliskie 0 — prowadzi to do zjawisk zależnych od poziomu Fermiego, np. stabilności białych karłów.
• Ciśnienie degeneracyjne: niezależne od temperatury ciśnienie wynikające z zasady wykluczania odgrywa rolę w astrofizyce (gwiazdy gęste).
• Własności termiczne: wkład elektronów do pojemności cieplnej metali jest opisany przez korekty względem klasycznego modelu dzięki rozkładowi Fermiego–Diraca.

Zastosowania

• Opis elektronicznych własności przewodników: obsada stanów elektronowych w przewodnictwie — ilustracją są elektrony w metalach i półmetalach.
• Wyjaśnienie przewodnictwa elektrycznego i temperatury Fermiego wpływających na liczbę nośników przewodnictwa.
• Astrofizyka: modelowanie białych karłów i zanurzeń materii w ekstremalnych gęstościach.
• Fizyka materii skondensowanej: teoria gazu Fermiego, półprzewodników i właściwości termicznych elektronów.

Porównanie z innymi statystykami

• Fermi–Dirac stosuje się do fermionów i zawiera czynnik (1 + e^{...}) w mianowniku rozkładu. Ze względu na wykluczanie Pauliego jeden stan może być maksymalnie jednoobsadzony.
• Bose–Einstein dotyczy bozonów; rozkład może prowadzić do makroskopowej okupacji podstawowego stanu (kondensacja Bosego).
• Rozkład Maxwella–Boltzmanna jest aproksymacją klasyczną stosowaną przy niskiej gęstości i wysokich temperaturach, kiedy efekty kwantowe są pomijalne.

Matematyczne uwagi

• Przy T = 0 funkcja obsadzenia przyjmuje postać skoku: stany z E < E_F są obsadzone, z E > E_F — puste.
• Integrując f(E) po przestrzeni fazowej otrzymuje się gęstość cząstek i wielkości termodynamiczne (energia, ciśnienie, pojemność cieplna).

Krótka historia

Pomysły związane z rozkładem dla fermionów sformułowali niezależnie Enrico Fermi i Paul Dirac w latach 1920.—rozwoju mechaniki kwantowej, co doprowadziło do ugruntowania teorii statystycznej cząstek o spinie półcałkowitym.