W matematyce, podstawa lub radix to liczba różnych cyfr lub kombinacja cyfr i liter, która jest używana w systemie liczenia do przedstawiania liczb. Na przykład, najczęstszą bazą stosowaną obecnie jest system dziesiętny. Ponieważ "dec" oznacza 10, używa on 10 cyfr od 0 do 9. Większość ludzi uważa, że najczęściej używamy podstawy 10, ponieważ mamy 10 palców.
Podstawa jest zazwyczaj liczbą całkowitą większą niż 1, chociaż podstawy niecałkowite i ujemne są matematycznie możliwe (rzadko stosowane praktycznie). W zapisie liczby zwykle umieszcza się mały indeks określający bazę, na przykład:
23 8 {\i1}styl 23_{\i0}}
oznacza 23 w bazie 8 (która jest równa 19 w bazie 10).
Systemy pozycyjne — zasada działania
W systemie pozycyjnym wartość liczby zależy od cyfr oraz ich pozycji. Dla bazy b i cyfr d_n d_{n-1} ... d_1 d_0 (pozycje liczone od zera od prawej) wartość liczby wyraża się wzorem:
N = d_0 + d_1·b + d_2·b^2 + ... + d_n·b^n.
Dla części ułamkowej (po przecinku) wartości miejsc ujemnych są potęgami ujemnymi b: d_{-1}·b^{-1} + d_{-2}·b^{-2} + ...
Cyfry dopuszczalne i przykłady systemów
- W bazie b dopuszczalne cyfry to 0, 1, 2, ..., b−1 (jeżeli b jest całkowite większe niż 1).
- Najczęściej spotykane systemy:
- b = 2 — system binarny (cyfry 0 i 1), powszechny w elektronice i informatyce.
- b = 8 — system ósemkowy (cyfry 0–7).
- b = 10 — system dziesiętny (cyfry 0–9), używany powszechnie w życiu codziennym.
- b = 16 — system szesnastkowy (cyfry 0–9 i litery A–F reprezentujące wartości 10–15), używany w programowaniu i informatyce.
Konwersje między systemami
Przekształcenie liczby z danej bazy do dziesiętnej
Aby zamienić liczbę z bazy b na dziesiętną, obliczamy sumę iloczynów cyfr przez odpowiednie potęgi b (stosujemy powyższy wzór). Przykład już podany:
23_8 = 2·8 + 3 = 16 + 3 = 19_10.
Przekształcenie liczby całkowitej z systemu dziesiętnego do innej bazy
Najczęściej używany algorytm to dzielenie przez podstawę i zapisywanie reszt:
- Dzielimy liczbę całkowitą przez b.
- Zapisujemy resztę (to najmłodsza cyfra w nowej bazie).
- Powtarzamy dzielenie dla ilorazu, aż iloraz stanie się zerem.
- Odczytujemy cyfry od ostatniej uzyskanej reszty do pierwszej — to zapis liczby w nowej bazie.
Przykład: zamiana 19_10 na bazę 8:
- 19 ÷ 8 = 2, reszta 3 → najmłodsza cyfra = 3
- 2 ÷ 8 = 0, reszta 2 → kolejna cyfra = 2
- Odczyt od końca: 23_8.
Konwersja ułamków (części po przecinku)
Aby przekształcić część ułamkową z systemu dziesiętnego do bazy b, mnożymy część ułamkową wielokrotnie przez b i zapisujemy część całkowitą otrzymaną w kolejnych krokach:
- Początkowa część ułamkowa f (0 ≤ f < 1).
- f · b → część całkowita d_1 to pierwsza cyfra, część ułamkowa to nowy f.
- Powtarzamy mnożenie nowej części ułamkowej przez b, zapisując kolejne cyfry d_2, d_3, ...
- Proces kończymy, gdy część ułamkowa stanie się 0 (dokładne przedstawienie) lub gdy uzyskamy wymaganą liczbę cyfr (przybliżenie). Niektóre ułamki dają rozwinięcia okresowe.
Przykład: 0.625_10 do systemu binarnego:
- 0.625·2 = 1.25 → d1 = 1, nowa część = 0.25
- 0.25·2 = 0.5 → d2 = 0, nowa część = 0.5
- 0.5·2 = 1.0 → d3 = 1, nowa część = 0 → koniec
- 0.625_10 = 0.101_2.
Uwagi praktyczne i konwencje
- Dla jednoznaczności zapisów często przyjmuje się oznaczanie bazy indeksem (np. 101_2, 7_8, FF_16) albo prefiksy w informatyce: 0b (binarny), 0o (ósemkowy), 0x (szesnastkowy).
- Systemy pozycyjne są najbardziej praktyczne, ponieważ pozycja cyfry niesie informację o wartości mnożnika (potędze podstawy).
- W zastosowaniach technicznych i komputerowych systemy binarny, ósemkowy i szesnastkowy są powszechne ze względu na naturalne powiązanie z reprezentacją bitową i grupowaniem bitów (np. 4 bity = 1 cyfra szesnastkowa).
Podsumowując, radix określa, ile różnych symboli jest dostępnych w danym systemie i jakie potęgi bazowe są używane do ważenia pozycji cyfr. Zrozumienie zasad systemów pozycyjnych oraz metod konwersji pozwala łatwo przechodzić między różnymi podstawami i stosować je w praktyce (programowanie, elektronika, matematyka).