Metryka Schwarzschilda

Metryka Schwarzschilda została obliczona przez Karla Schwarzschilda jako rozwiązanie równań polowych Einsteina w 1916 roku. Znane również jako rozwiązanie Schwarzschilda, jest to równanie z ogólnej względności w dziedzinie astrofizyki. Metryka odnosi się do równania, które opisuje czasoprzestrzeń; w szczególności metryka Schwarzschilda opisuje pole grawitacyjne wokół czarnej dziury Schwarzschilda - nieobrotowej, kulistej czarnej dziury bez pola magnetycznego, gdzie stała kosmologiczna wynosi zero.

Jest to zasadniczo równanie, które opisuje, jak cząstka przemieszcza się w przestrzeni w pobliżu czarnej dziury.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\i1}displaystylu (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\i0}frac {\i0}{rc^{2}})(dt)^{\i0}+{\i1}{\i1}{\i1}(1-{\i0}frac {\i0}{rc^{2}})}(dr)^{2}+r^{2}(d\i0}theta )^{\i0}+r^{2}\i0}sin ^{\i0}(d\i0}phi )^{\i0}} {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}

Derywatyzacja

Chociaż bardziej skomplikowany sposób obliczania metryki Schwarzschilda można znaleźć za pomocą symboli Christoffla, można go również wyprowadzić za pomocą równań na prędkość ucieczki ( v e {\i1}{\displaystyle v_{e}}), dylatację czasu (dt'), skurcz długości (dr'):

v e = v = 2 G M r {\i0}{\i1}displaystyle v_{e}=v={\i1}sqrt {\i1}frac {\i1}{r}}}}} {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}(1)

v jest prędkością cząstki
G jest stałą grawitacyjną
M jest masą czarnej dziury
r jest tym, jak blisko znajduje się ona do ciężkiego obiektu

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\i1}displaystyle dt'=dt{\i0}sqrt {1-{\i1}frac {v^{\i0}}{c^{\i2}}}}}}} {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\i1}displaystyle dr'={\i0}{\i1}frac {dr}{\i1}sqrt {\i1-{\i1}frac {\i0}{\i1}{c^{\i1}COPY16} {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}(3)

dt' jest rzeczywistą zmianą czasu
dt jest zmianą czasu cząstki
dr' jest rzeczywistą zmianą odległości przebytej przez cząstkę
dr jest zmianą odległości
v jest prędkością cząstki
c jest prędkością światła

Uwaga: rzeczywisty przedział czasu i rzeczywista odległość pokonana przez cząstkę są inne niż czas i odległość obliczone w obliczeniach fizyki klasycznej, ponieważ porusza się ona w tak ciężkim polu grawitacyjnym!

Użycie równania na płaską czasoprzestrzeń we współrzędnych sferycznych:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\i1}(dt)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\i0}sin ^{2}(\i0}(d\phi)^{2}} {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(4)

ds to droga cząsteczki

θ {\i1}Styl stylistyczny {\i0}{\displaystyle \theta } {\i1}to kąt?{\i0}
d θ {\i1}displaystyle {\i0}theta {\i1}oraz {\displaystyle \theta }d ϕ {\i1}displaystyle {\i0}phi{\displaystyle \phi } {\i1}są zmianą kątów.{\i0}

Wprowadzenie równań na prędkość ucieczki, dylatację czasu i skurcz długości (równania 1, 2 i 3) do równania na płaską czasoprzestrzeń (równanie 4), aby uzyskać metrykę Schwarzschilda:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\i1}displastyla (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\i1}frac {\i0}{rc^{\i0}})(dt)^{\i0}+{\i1}frac {\i1}(dr)^{\i0}}}{\i1-{\i1}frac {\i1}{\i1}{\i1}(rc^{\i0}})}+r^{\i0}(d\i1}theta )^{\i0}+r^{\i0}}sin ^{\i1}(d\i0}theta)^{\i0}} {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(5)

Z tego równania możemy wyciągnąć promień Schwarzschilda ( r s {\i1}{\displaystyle r_{s}}), promień tej czarnej dziury. Chociaż jest to najczęściej używane do opisu czarnej dziury Schwarzschilda, promień Schwarzschilda może być obliczony dla każdego ciężkiego obiektu.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\i1}displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\i0}frac {r_{s}{r}})(dt)^{2}+{\i0}frac {1}{(1-{\i0}frac {r_{s}}{r}})}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\i0}sin ^{2}(d\i0}(d\i0}phi )^{2}) {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(6)

r s {\i1}styl {\displaystyle r_{s}}r_{\i0}}jest ustawionym limitem promienia obiektu

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest metryka Schwarzschilda?


O: Metryka Schwarzschilda to równanie z ogólnej teorii względności w dziedzinie astrofizyki, które opisuje, jak cząstka porusza się w przestrzeni w pobliżu czarnej dziury. Zostało ono obliczone przez Karla Schwarzschilda jako rozwiązanie równań pola Einsteina w 1916 roku.

P: Do czego odnosi się metryka?


O: Metryka to równanie opisujące czasoprzestrzeń; w szczególności metryka Schwarzschilda opisuje pole grawitacyjne wokół czarnej dziury Schwarzschilda.

P: Jakie są niektóre cechy czarnej dziury Schwarzschilda?


O: Czarna dziura Schwarzschilda nie obraca się, jest kulista i nie ma pola magnetycznego. Ponadto jej stała kosmologiczna wynosi zero.

P: Jak można opisać pole grawitacyjne wokół czarnej dziury Schwarzschilda?


O: Możemy je opisać za pomocą równania metryki Schwartzchilda, które opisuje, jak cząstki poruszają się w przestrzeni w pobliżu tego typu czarnej dziury.

P: Kto pierwszy obliczył to równanie?


O: Karl Schwartzchild po raz pierwszy obliczył to równanie jako rozwiązanie równań pola Einsteina w 1916 roku.

P: Co oznacza (ds)^2 w tym równaniu?


O: (ds)^2 reprezentuje odległość pomiędzy dwoma punktami w czasoprzestrzeni mierzoną względem współrzędnych czasowych i przestrzennych.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3