Metryka Schwarzschilda — definicja, wzór i znaczenie w ogólnej względności

Metryka Schwarzschilda — definicja, wzór i znaczenie w ogólnej względności. Wyjaśnienie opisu czasoprzestrzeni i pola grawitacyjnego czarnych dziur z przykładami i wzorami.

Autor: Leandro Alegsa

25-03-2026 15:18

Metryka Schwarzschilda została obliczona przez Karla Schwarzschilda jako rozwiązanie równań polowych Einsteina w 1916 roku. Znane również jako rozwiązanie Schwarzschilda, jest to podstawowe rozwiązanie ogólnej względności w dziedzinie astrofizyki. Metryka to sposób zapisu metryki czasoprzestrzeni — równanie opisujące geometryczne własności czasoprzestrzeni i przebieg odległości (inwariantów), a metryka Schwarzschilda opisuje pole grawitacyjne wokół symetrycznego, nieobracającego się, sferycznego źródła masy (czarnej dziury Schwarzschilda lub zewnętrzne pole sferycznej gwiazdy) przy zerowej stałej kosmologicznej i braku ładunku oraz pola magnetycznego.

Innymi słowy, jest to równanie opisujące, jak cząstka i promień świetlny poruszają się w pobliżu takiego źródła masy — czyli jak zmienia się czas i przestrzeń w obecności grawitacji tej postaci.

Wzór metryki

W układzie współrzędnych sferycznych (t, r, θ, φ) metryka Schwarzschilda ma postać

(ds)² = −c² (1 − 2GM/(rc²)) (dt)² + 1/(1 − 2GM/(rc²)) (dr)² + r² (dθ)² + r² sin²θ (dφ)².

$(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Współczynniki metryki zawierają stałe: G (stała grawitacji), c (prędkość światła) oraz M (masa źródła). Wprowadza się często promień Schwarzschilda

r_s = 2GM / c²,

co upraszcza zapis: współczynniki zależą od czynnika (1 − r_s / r).

Znaczące cechy i interpretacja fizyczna

Horyzont zdarzeń: dla r = r_s współczynniki metryki wydają się osobliwe (dzielnik zerowy). Jest to jednak osobliwość współrzędnych — tzw. osobliwość koordynatowa, którą można usunąć przechodząc do układów Eddingtona–Finkelsteina lub Kruskala–Szekeresa. W fizycznym sensie r = r_s wyznacza horyzont zdarzeń czarnej dziury: granicę, z której nie może uciec światło.
Prawdziwa osobliwość: w r = 0 występuje rzeczywista osobliwość krzywizny (skalary krzywizny divergują), co wskazuje na singularność fizyczną rozwiązania.
Domena ważności: rozwiązanie to opisuje próżnię na zewnątrz sferycznej masy (czyli r większe od promienia rzeczywistego obiektu, jeśli źródło ma skończony rozmiar). Dla wnętrza masy trzeba dobrać odpowiednie rozwiązanie wewnętrzne i „dopasować” je do Schwarzschilda na granicy — zgodnie z zasadami ciągłości metryki i jej pochodnych.
Twierdzenie Birkhoffa: dowodzi, że zewnętrzne pole grawitacyjne sferycznie symetrycznego rozkładu masy w próżni jest zawsze statyczne i opisane rozwiązaniem Schwarzschilda niezależnie od dynamiki wnętrza (o ile zachowana jest sferyczna symetria).

Skutki obserwacyjne i zastosowania

Gravitational time dilation (spowolnienie czasu): zegary bliżej masy (mniejsze r) tykają wolniej w porównaniu z zegarem w nieskończoności; efekt ten opisuje składowa g_tt = −c²(1 − r_s/r).
Przesunięcie ku czerwieni: światło wychodzące z pola grawitacyjnego ulega grawitacyjnemu przesunięciu ku czerwieni.
Zginanie światła i soczewkowanie grawitacyjne: trajektorie promieni świetlnych zakrzywiają się, co daje obserwacyjne efekty soczewkowania.
Orbity i precesja peryhelium: rozwiązanie przewiduje drobne odchylenia od prawa Keplera — m.in. precesję peryhelium planety (słynny przypadek Merkurego).
Czarnych dziur i parametry: promień Schwarzschilda r_s daje charakterystyczną skalę – np. dla Słońca r_s ≈ 3 km, dla Ziemi r_s ≈ 8.9 mm. Dla obiektu o promieniu mniejszym niż r_s staje się on czarną dziurą klasy Schwarzschilda.
Praktyczne zastosowania: w słabym polu grawitacyjnym metryka Schwarzschilda przechodzi w przybliżenie Newtonowskie; korekty wynikające z GR (np. dylatacja czasu grawitacyjna) muszą być uwzględniane w systemach takich jak GPS.

Uogólnienia i ograniczenia

Metryka Schwarzschilda dotyczy jedynie przypadków sferycznych, nierotujących i bezładunkowych. Dla rotujących czarnych dziur używa się metryki Kerra; dla ładunkowych — metryki Reissnera–Nordströma.
Osobliwość na horyzoncie r = r_s jest usuwalna przez odpowiedni wybór współrzędnych; natomiast osobliwość przy r = 0 jest fizyczna w ramach klasycznego opisu i spodziewana jest „rozwiązana” (lub zmieniona) przez teorię grawitacji kwantowej.

Podsumowanie: metryka Schwarzschilda to kluczowy element teorii względności — najprostsze, ale niezwykle użyteczne rozwiązanie równań Einsteina opisujące zewnętrzne pole grawitacyjne sferycznej masy. Dzięki niej rozumiemy i obliczamy zjawiska takie jak dylatacja czasu, przesunięcie ku czerwieni, zginanie światła, a także podstawowe własności czarnych dziur.

Derywatyzacja

Chociaż bardziej skomplikowany sposób obliczania metryki Schwarzschilda można znaleźć za pomocą symboli Christoffla, można go również wyprowadzić za pomocą równań na prędkość ucieczki ( v e {\i1} $v_{e}$ ), dylatację czasu (dt'), skurcz długości (dr'):

v e = v = 2 G M r {\i0}{\i1}displaystyle v_{e}=v={\i1}sqrt {\i1}frac {\i1}{r}}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v jest prędkością cząstki
G jest stałą grawitacyjną
M jest masą czarnej dziury
r jest tym, jak blisko znajduje się ona do ciężkiego obiektu

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\i1}displaystyle dt'=dt{\i0}sqrt {1-{\i1}frac {v^{\i0}}{c^{\i2}}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\i1}displaystyle dr'={\i0}{\i1}frac {dr}{\i1}sqrt {\i1-{\i1}frac {\i0}{\i1}{c^{\i1}COPY16} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' jest rzeczywistą zmianą czasu
dt jest zmianą czasu cząstki
dr' jest rzeczywistą zmianą odległości przebytej przez cząstkę
dr jest zmianą odległości
v jest prędkością cząstki
c jest prędkością światła

Uwaga: rzeczywisty przedział czasu i rzeczywista odległość pokonana przez cząstkę są inne niż czas i odległość obliczone w obliczeniach fizyki klasycznej, ponieważ porusza się ona w tak ciężkim polu grawitacyjnym!

Użycie równania na płaską czasoprzestrzeń we współrzędnych sferycznych:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\i1}(dt)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\i0}sin ^{2}(\i0}(d\phi)^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds to droga cząsteczki

θ {\i1}Styl stylistyczny {\i0} $\theta$ {\i1}to kąt?{\i0}
d θ {\i1}displaystyle {\i0}theta {\i1}oraz $\theta$ d ϕ {\i1}displaystyle {\i0}phi $\phi$ {\i1}są zmianą kątów.{\i0}

Wprowadzenie równań na prędkość ucieczki, dylatację czasu i skurcz długości (równania 1, 2 i 3) do równania na płaską czasoprzestrzeń (równanie 4), aby uzyskać metrykę Schwarzschilda:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\i1}displastyla (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\i1}frac {\i0}{rc^{\i0}})(dt)^{\i0}+{\i1}frac {\i1}(dr)^{\i0}}}{\i1-{\i1}frac {\i1}{\i1}{\i1}(rc^{\i0}})}+r^{\i0}(d\i1}theta )^{\i0}+r^{\i0}}sin ^{\i1}(d\i0}theta)^{\i0}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

Z tego równania możemy wyciągnąć promień Schwarzschilda ( r s {\i1} $r_{s}$ ), promień tej czarnej dziury. Chociaż jest to najczęściej używane do opisu czarnej dziury Schwarzschilda, promień Schwarzschilda może być obliczony dla każdego ciężkiego obiektu.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\i1}displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\i0}frac {r_{s}{r}})(dt)^{2}+{\i0}frac {1}{(1-{\i0}frac {r_{s}}{r}})}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\i0}sin ^{2}(d\i0}(d\i0}phi )^{2}) $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\i1}styl $r_{s}$ r_{\i0}}jest ustawionym limitem promienia obiektu

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest metryka Schwarzschilda?

O: Metryka Schwarzschilda to równanie z ogólnej teorii względności w dziedzinie astrofizyki, które opisuje, jak cząstka porusza się w przestrzeni w pobliżu czarnej dziury. Zostało ono obliczone przez Karla Schwarzschilda jako rozwiązanie równań pola Einsteina w 1916 roku.

P: Do czego odnosi się metryka?

O: Metryka to równanie opisujące czasoprzestrzeń; w szczególności metryka Schwarzschilda opisuje pole grawitacyjne wokół czarnej dziury Schwarzschilda.

P: Jakie są niektóre cechy czarnej dziury Schwarzschilda?

O: Czarna dziura Schwarzschilda nie obraca się, jest kulista i nie ma pola magnetycznego. Ponadto jej stała kosmologiczna wynosi zero.

P: Jak można opisać pole grawitacyjne wokół czarnej dziury Schwarzschilda?

O: Możemy je opisać za pomocą równania metryki Schwartzchilda, które opisuje, jak cząstki poruszają się w przestrzeni w pobliżu tego typu czarnej dziury.

P: Kto pierwszy obliczył to równanie?

O: Karl Schwartzchild po raz pierwszy obliczył to równanie jako rozwiązanie równań pola Einsteina w 1916 roku.

P: Co oznacza (ds)^2 w tym równaniu?

O: (ds)^2 reprezentuje odległość pomiędzy dwoma punktami w czasoprzestrzeni mierzoną względem współrzędnych czasowych i przestrzennych.

Przeszukaj encyklopedię