Zegar świetlny to prosty model ilustrujący jedną z podstawowych konsekwencji Szczególnej względności — tzw. dylatacjęczasu. Konstrukcja zegara polega na umieszczeniu źródła krótkich impulsów świetlnych u podstawy pionowego słupa, lustra na jego szczycie oraz detektora na dole. Każdy impuls wysłany ku górze odbija się od lustra i wraca do detektora; wykrycie powrotu uruchamia kolejny impuls i jednocześnie zwiększa licznik „tików”. Dzięki temu odległość, jaką pokonuje światło między kolejnymi kliknięciami, bezpośrednio wyznacza okres zegara.

Intuicyjne porównanie

Aby zrozumieć, jak względny ruch wpływa na tempo tików, możemy najpierw rozważyć prostszy przypadek z piłką dryfującą wewnątrz lecącego samolotu. Osoby w samolocie obserwują proste pionowe odbicia piłki i mierzą czas pomiędzy nimi (np. 1 sekunda). Dla obserwatora zewnętrznego (na ziemi) to samo odbicie może nastąpić nad nieco innym miejscem powierzchni Ziemi, ponieważ samolot porusza się względem Ziemi — stąd względny ruch wpływa na położenie obiektu, choć w tym klasycznym przykładzie nie pojawia się efekt dylatacji czasu związany z prędkościami bliskimi prędkości światła.

Jak działa zegar świetlny i skąd bierze się dylatacja czasu

W przypadku zegara świetlnego prędkość impulsów świetlnych jest zawsze taka sama: c (prędkość światła). Rozważmy najpierw zegar stojący nieruchomo (np. na biegunie północnym). Niech odległość od detektora do lustra wynosi a. Światło w drodze w górę i z powrotem pokonuje łączną odległość 2a, zatem czas jednego cyklu („tiku”) wynosi

t = 2a / c.

Przykładowo, jeśli słup ma długość 0,5 km (czyli 2a = 1 km), to jeden tik zajmuje 1 km / c ≈ 1/300 000 s ≈ 0,00000333... s.

Teraz rozważmy ten sam zegar umieszczony na pokładzie szybko poruszającego się statku kosmicznego, mijającego obserwatora stojącego na Ziemi. Dla obserwatora ziemskiego ścieżka impulsu od detektora do lustra i z powrotem nie jest już pionowa — jest połączeniem dwóch przekątnych: w czasie gdy światło wspina się ku górze, słup (i lustro) przesuwa się w poziomie z prędkością r. W związku z tym światło w górę i w dół przebywa dłuższą drogę niż 2a.

Wyprowadzenie matematyczne (geometria i algebra)

Niech t' będzie czasem jednego tiku zegara ruchomego mierzonym przez obserwatora na Ziemi. W czasie półcyklu (w górę) impuls przemieszcza się po przekątnej o długości h, gdzie poziome przesunięcie wynosi (r t'/2), a pionowe — a. Z twierdzenia Pitagorasa:

h = √(a2 + (r t'/2)2).

Światło pokonuje łącznie odległość d = 2h w czasie t', więc obowiązuje:

c t' = 2 √(a2 + (r t'/2)2).

Podnosząc do kwadratu i upraszczając otrzymujemy:

(c t'/2)2 = a2 + (r t'/2)2

=> t'2(c2 - r2)/4 = a2

=> t'2 = 4 a2 / (c2 - r2)

=> t' = 2a / √(c2 - r2).

Jeśli przypomnimy, że czas jednego tiku zegara nieruchomego wynosi t = 2a / c, możemy zapisać wynik w postaci znanej formuły dylatacji czasu:

t' = t / √(1 - r2 / c2).

Interpretacja i przykład liczbowy

  • Współczynnik γ = 1 / √(1 - r2/c2) nazywamy czynnikiem Lorentza. Dla r > 0 mamy γ > 1, więc t' > t: obserwator na Ziemi widzi, że zegar poruszający się tyka wolniej.
  • Przykład: jeśli t = 1 s (czas pomiędzy tikami zegara nieruchomego) i r = 0,5 c, to γ = 1/√(1 - 0,25) ≈ 1,1547, więc t' ≈ 1,1547 s. Zegar ruchomy wydaje się „spowolniony” o około 15%.

Uwagi końcowe

Efekt jest symetryczny: z punktu widzenia obserwatora znajdującego się na statku kosmicznym to zegary na Ziemi wydają się tykać wolniej. Dylatacja czasu nie wynika z niedoskonałości zegarów, lecz z geometrycznej struktury czasoprzestrzeni w szczególnej teorii względności. W granicy r → c czynnik γ rośnie do nieskończoności, co pokazuje, że prędkość światła jest górnym ograniczeniem prędkości dla materii i informacji.

Dylatacja czasu została wielokrotnie potwierdzona eksperymentalnie — m.in. przez pomiary życia mionów w atmosferze oraz precyzyjne porównania zegarów atomowych na poruszających się samolotach (eksperyment Hafele–Keatinga). Dla interaktywnego sprawdzenia zależności można użyć kalkulatora na stronie: http://www.1728.org/reltivty.htm