Zegar świetlny — definicja i przykład dylatacji czasu w szczególnej względności

Intuicyjne porównanie

Aby zrozumieć, jak względny ruch wpływa na tempo tików, możemy najpierw rozważyć prostszy przypadek z piłką dryfującą wewnątrz lecącego samolotu. Osoby w samolocie obserwują proste pionowe odbicia piłki i mierzą czas pomiędzy nimi (np. 1 sekunda). Dla obserwatora zewnętrznego (na ziemi) to samo odbicie może nastąpić nad nieco innym miejscem powierzchni Ziemi, ponieważ samolot porusza się względem Ziemi — stąd względny ruch wpływa na położenie obiektu, choć w tym klasycznym przykładzie nie pojawia się efekt dylatacji czasu związany z prędkościami bliskimi prędkości światła.

Jak działa zegar świetlny i skąd bierze się dylatacja czasu

W przypadku zegara świetlnego prędkość impulsów świetlnych jest zawsze taka sama: c (prędkość światła). Rozważmy najpierw zegar stojący nieruchomo (np. na biegunie północnym). Niech odległość od detektora do lustra wynosi a. Światło w drodze w górę i z powrotem pokonuje łączną odległość 2a, zatem czas jednego cyklu („tiku”) wynosi

t = 2a / c.

Przykładowo, jeśli słup ma długość 0,5 km (czyli 2a = 1 km), to jeden tik zajmuje 1 km / c ≈ 1/300 000 s ≈ 0,00000333... s.

Teraz rozważmy ten sam zegar umieszczony na pokładzie szybko poruszającego się statku kosmicznego, mijającego obserwatora stojącego na Ziemi. Dla obserwatora ziemskiego ścieżka impulsu od detektora do lustra i z powrotem nie jest już pionowa — jest połączeniem dwóch przekątnych: w czasie gdy światło wspina się ku górze, słup (i lustro) przesuwa się w poziomie z prędkością r. W związku z tym światło w górę i w dół przebywa dłuższą drogę niż 2a.

Wyprowadzenie matematyczne (geometria i algebra)

Niech t' będzie czasem jednego tiku zegara ruchomego mierzonym przez obserwatora na Ziemi. W czasie półcyklu (w górę) impuls przemieszcza się po przekątnej o długości h, gdzie poziome przesunięcie wynosi (r t'/2), a pionowe — a. Z twierdzenia Pitagorasa:

h = √(a² + (r t'/2)²).

Światło pokonuje łącznie odległość d = 2h w czasie t', więc obowiązuje:

c t' = 2 √(a² + (r t'/2)²).

Podnosząc do kwadratu i upraszczając otrzymujemy:

(c t'/2)² = a² + (r t'/2)²

=> t'²(c² - r²)/4 = a²

=> t'² = 4 a² / (c² - r²)

=> t' = 2a / √(c² - r²).

Jeśli przypomnimy, że czas jednego tiku zegara nieruchomego wynosi t = 2a / c, możemy zapisać wynik w postaci znanej formuły dylatacji czasu:

t' = t / √(1 - r² / c²).

Interpretacja i przykład liczbowy

• Współczynnik γ = 1 / √(1 - r²/c²) nazywamy czynnikiem Lorentza. Dla r > 0 mamy γ > 1, więc t' > t: obserwator na Ziemi widzi, że zegar poruszający się tyka wolniej.
• Przykład: jeśli t = 1 s (czas pomiędzy tikami zegara nieruchomego) i r = 0,5 c, to γ = 1/√(1 - 0,25) ≈ 1,1547, więc t' ≈ 1,1547 s. Zegar ruchomy wydaje się „spowolniony” o około 15%.

Uwagi końcowe

Efekt jest symetryczny: z punktu widzenia obserwatora znajdującego się na statku kosmicznym to zegary na Ziemi wydają się tykać wolniej. Dylatacja czasu nie wynika z niedoskonałości zegarów, lecz z geometrycznej struktury czasoprzestrzeni w szczególnej teorii względności. W granicy r → c czynnik γ rośnie do nieskończoności, co pokazuje, że prędkość światła jest górnym ograniczeniem prędkości dla materii i informacji.

Dylatacja czasu została wielokrotnie potwierdzona eksperymentalnie — m.in. przez pomiary życia mionów w atmosferze oraz precyzyjne porównania zegarów atomowych na poruszających się samolotach (eksperyment Hafele–Keatinga). Dla interaktywnego sprawdzenia zależności można użyć kalkulatora na stronie: http://www.1728.org/reltivty.htm