AlegsaOnline.com

Funkcja pierwotna (antyderywatywna)

Funkcja pierwotna to funkcja F, której pochodna daje daną funkcję f. Omówienie definicji, własności, metod znajdowania, związku z całką oznaczoną oraz przykłady i ograniczenia.

Autor: Leandro Alegsa Data utworzenia: 24 stycznia 2021 Ostatnia aktualizacja: 27 kwietnia 2026

en.wikipedia.org · CC BY-SA 3.0

Funkcja pierwotna (zwane też antyderywatywą) danej funkcji f to funkcja F spełniająca F'(x)=f(x) dla x z pewnego przedziału. W zapisie całkowania nieokreślonego oznacza się ją symbolem ∫ f(x) dx; wynik zwykle zapisuje się z dodatkową stałą C, bo jeśli F jest pierwotną, to wszystkie pierwotne mają postać F+C. Ogólną ideę i podstawowe fakty dotyczące antydyferencjacji można znaleźć w opracowaniach matematycznych, np. wprowadzenie.

$\int x\ dx$

Definicja i własności

Formalnie: funkcja F jest pierwotną f na przedziale I, gdy F jest różniczkowalna na I i F'(x)=f(x) dla każdego x a należącego do I. Na spójnym przedziale każda para pierwotnych różni się stałą: jeżeli F i G są pierwotnymi f, to F(x)-G(x)=const. Istotne twierdzenie analizy mówi, że każda funkcja ciągła na przedziale ma pierwotną; wynik ten jest ściśle powiązany z podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego — porównaj omówienie twierdzenia.

Metody znajdowania

Antyderywatywy wyznacza się za pomocą reguł analogicznych do reguł różniczkowania oraz technik upraszczania wyrażeń. Najczęściej stosowane sposoby to:

Reguła potęgi: dla n≠-1 mamy ∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C.
Liniowość: ∫(a f(x)+b g(x)) dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx.
Podstawienie: przydatne gdy integrand jest złożeniem funkcji.
Całkowanie przez części: używane gdy integrand jest iloczynem funkcji.

Istnieją też funkcje, których pierwotne nie da się wyrazić za pomocą elementarnych funkcji (np. e^{-x^2}); w takich przypadkach korzysta się z funkcji specjalnych lub rozwinięć szeregowych — zobacz przykłady i bibliografię.

Związek z całką oznaczoną

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego łączy pojęcie pierwotnej z całką oznaczoną: jeśli F jest pierwotną f na przedziale [a,b], to ∫_a^b f(x) dx = F(b)-F(a). Dzięki temu obliczanie pól lub sum algebraicznych sprowadza się często do znalezienia odpowiedniej funkcji pierwotnej — więcej ilustracji można znaleźć pod tym odnośnikiem.

Przykłady i zastosowania

Funkcje pierwotne są używane w fizyce (pozycja jako pierwotna prędkości), w teorii równań różniczkowych (rozwiązywanie równań przez całkowanie), w geometrii (pola pod krzywą) i w statystyce. Przykłady: ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ 1/x dx = ln|x| + C. Zastosowania praktyczne i obliczeniowe opisują podręczniki i materiały dydaktyczne dla studentów.

Uwagi i ograniczenia

Nie każdy wzór ma prostą antydyferencjatę w postaci elementarnej; analiza funkcji pierwotnych wymaga też uwagi przy przedziałach z punktami nieciągłości czy przy całkowaniu niewłaściwym. W praktyce obliczeniowej stosuje się tablice całek, metody numeryczne i programy symboliczne, które pomagają znaleźć lub przybliżyć pierwotne w trudniejszych przypadkach.

Prosta integracja

Aby zintegrować x n {\i1} {\i1}Styl stylistyczny ax^{n}} $ax^{n}$

Dodaj 1 do mocy n {\i1} więc x n $ax^{n}$ {\i1}jest teraz x n + 1 {\i1} {\i1}displaystylem ax^{n+1} $ax^{n+1}$
Podziel to wszystko przez nową moc, więc teraz jest to x n + 1 n + 1 {\i1}{\i1} ${\frac {ax^{n+1}}{n+1}}$
{\i1}Dodaj stałą c{\i1} {\i1}displaystylu c{\i0} $c$ , więc teraz jest to x n + 1 n + 1 + c {\i1} {\i1}frac {\i1}{\i1}{\i1}+c} ${\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c$

To może być pokazane jako:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\i1}displaystyle \i0}int ax^{n}\i0} dx={\i1}frac {\i1}{\i1}{\i1}{n+1}+c} $\int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c$

Gdy istnieje wiele terminów x {\i1}wyraźnych x{\i0}, zintegruj każdą część samodzielnie:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\i1}displaystyle \i0}int 2x^{6}-5x^{4}\i0} dx={\i1}frac {\i0}{\i1}-{\i1}frac {\i0}{\i1}{\i1}+c={\i1}frac {\i1}{\i1}x^{\i1}-x^{\i0}+c} $\int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c$

(Działa to tylko wtedy, gdy części są dodawane lub odbierane).

Przykłady

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\i1}displaystyle \i0}int 3x^{4}\i0} dx={\i1}frac {3x^{5}}{\i1}+c} $\int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c$

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 + x 5 5 + c {\i1} {\i1} {\i1}int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\i0} dx={\i1}frac {x^{2}}+{\i1}frac {x^{3}}{\i1}+{\i1}frac {x^{4}}+{\i1}frac {x^{5}}+c} $\int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c$

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\i1} {\i1}{\i1}{x+4}} dx= |ln |x+4| \i1+c= |ln |x+4|+c} $\int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c$

Zmiana frakcji i korzeni na moce ułatwia:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\i1} dx=int x^{\i0}{x^{3}} dx=int x^{-3}\i0} dx={\i1}frac {x^{-2}}+c=-{\i0}frac {1}{\i1}{\i1}{\i1}}+c} $\int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c$

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\i1}displaystyle \i0}int {\i1}{\i1}sqrt {x^{3}} dx=\i0}int x^{\i0}frac {3}{2}} dx={\i0}frac {\i0}{\i1}frac {\i0}{\i1}{\i1}+c={\i1}frac {\i0}{\i1}x^{\i0}{\i1}+c={\i0}frac {\i0}{\i1}{\i1}{\i1}+c} $\int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c$

Integracja wspornika ("reguła łańcuchowa")

Jeśli chcesz zintegrować wspornik jak ( 2 x + 4 ) 3 {\i1}styk stylistyczny (2x+4)^{3}} $(2x+4)^{3}$ musimy zrobić to w inny sposób. To się nazywa zasada łańcucha. To jest jak prosta integracja. To działa tylko wtedy, gdy x {\i1}w klamrze ma moc 1 (jest liniowa) jak x {\i0} lub 5 x {\i1} $5x$ (nie x 5 $x^{5}$ {\i1}lub x - 7 $x^{-7}$ {\i1} {\i1}splaistylu x^{\i0}}).

Do ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\i1}displaystyle \i0}int (2x+4)^{3}\i0} dx} $\int (2x+4)^{3}\ dx$

Dodaj 1 do zasilania 3 {\i1}...{\i0 $3$ ( 2 x + 4 ) 4 {\i1}...{\i0}(2x+4)^{\i1} $(2x+4)^{4}$
Podziel to wszystko przez nową moc, aby uzyskać ( 2 x + 4 ) 4 4 {\i1}(2x+4)^(4)} ${\frac {(2x+4)^{4}}{4}}$
Podziel to wszystko przez pochodną nawiasu ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\i1}styk stylistyczny \i0}left(\i0}frac(2x+4)\i0}{\i1}{\i1}{\i1} $\left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)$ to get ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\i1}displaystyle {\i0}frac {(2x+4)^{4}}{\i1}{\i1}(2x+4)^{\i0}) ${\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}$
Dodaj stałą c {\i1} $c$ (2x + 4) 4 + c {\i1}(2x+4)^{\i0}+c). ${\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c$

Przykłady

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\i1}styk styropianu \i0}int (x+1)^{5}\i1} dx={\i1}frac {(x+1)^{6}}{6}times 1}+c={\i1}frac {1}{6}{\i1}(x+1)^{6}+c\i0}left(\i0}ponieważ {\i1}frac {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1} $\int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)$

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 x 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\i1} {\i1}{\i1}{(7x+12)^{\i0}} dx=\i1}int (7x+12)^-dx=frac {(7x+12)^{-8}}{-8 {czasy 7}+c=-{frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{frac {1}{56(7x+12)^{8}}+c`left(\i0}ponieważ {frac {d(7x+12)}{dx}=7}right)} $\int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)$

Powiązane strony

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest antyróżnicowanie?

O: Antyróżniczkowanie (zwane również całkowaniem nieokreślonym) to proces znajdowania pewnej funkcji w rachunku. Jest przeciwieństwem różniczkowania i polega na przetwarzaniu funkcji w celu otrzymania innej funkcji (lub klasy funkcji) zwanej antyróżniczką.

P: Jak to się przedstawia?

O: Antywspółczynnik, przedstawiany w postaci pojedynczych liter, często ma postać dużych liter rzymskich, takich jak F i G. Ogólnie, antypozytyw zapisuje się w postaci ∫f(x) dx.

P: Na czym polega antyróżnicowanie?

O: Antyróżniczkowanie polega na przetwarzaniu funkcji w celu otrzymania innej funkcji (lub klasy funkcji) zwanej antyróżniczką.

P: Czym różni się od całkowania?

O: Antyróżnicowanie różni się od całkowania tym, że nie ma granic - dlatego nazywa się je całkowaniem nieokreślonym.

P: Jakie są przykłady, jak można wyrazić antyróżnicowanie?

O: Przykładem tego, jak można wyrazić antyróżnicowanie, są F i G w postaci pojedynczych liter lub ∫f(x) dx w postaci ogólnej.

Funkcja pierwotna (antyderywatywna)

Definicja i własności

Metody znajdowania

Związek z całką oznaczoną

Przykłady i zastosowania

Uwagi i ograniczenia

Prosta integracja

Przykłady

Integracja wspornika (&quot;reguła łańcuchowa&quot;)

Przykłady

Powiązane strony

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest antyróżnicowanie?

P: Jak to się przedstawia?

P: Na czym polega antyróżnicowanie?

P: Czym różni się od całkowania?

P: Jakie są przykłady, jak można wyrazić antyróżnicowanie?

Integracja wspornika ("reguła łańcuchowa")