Funkcja Γ
W matematyce funkcja gamma (Γ(z)) jest rozszerzeniem funkcji czynnikowej na wszystkie liczby złożone z wyjątkiem liczb całkowitych ujemnych. Dla liczb całkowitych dodatnich jest ona definiowana jako Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\i1}Style Gamma (n)=(n-1)! }
Funkcja gamma jest zdefiniowana dla wszystkich numerów złożonych. Ale nie jest ona zdefiniowana dla liczb całkowitych ujemnych i zera. Dla liczby złożonej, której część rzeczywista nie jest liczbą całkowitą ujemną, funkcja jest zdefiniowana przez:
Funkcja gamma wzdłuż części osi rzeczywistej
Właściwości
Wartości szczegółowe
Niektóre szczególne wartości funkcji gamma to:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\i1}Zacznij {\i0} {\i1}Gamma (-3/2)&= {\i1}{\i1}&około 2.363271801207 Gamma (-1/2)&=-2sqrt {pi }& ok. -3.544907701811 Gamma (1/2)&=sqrt {pi }& ok. 1.772453850905 Gamma (1)&=0!&=1 Gamma (3/2)&={frac {1}{2}{sqrt {pi }& ok. 0.88622692545 Gamma (2)&=1!&=1 Gamma (5/2)&={frac {3}{4}{sqrt {pi }& ok. 1.32934038818 Gamma (3)&=2!Gamma (7/2) &=2 Gamma (7/2) &=Frac (15) {8} {\i1}& ok. 3.32335097045 {\i1}Gamma (4) &=3!&=6}
Funkcja Pi
Gauss wprowadził funkcję Pi. Jest to inny sposób na oznaczenie funkcji gamma. W odniesieniu do funkcji gamma, funkcja Pi to
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\i1}Pi (z)=\i0}Gamma (z+1)=z\i0;\i0}Gamma (z)=int _{0}^ {\i1}e^{-t}t^{z+1}, {\i1}frac {\i1}{\i1},}
tak aby
Π ( n ) = n ! {y:i}Pi (n)=n!=n,\i0}
dla każdej liczby całkowitej nieujemnej n.
Aplikacje
Analityczna teoria liczb
Funkcja gamma jest używana do badania funkcji Riemanna zeta. Właściwością funkcji Riemann zeta jest jej równanie funkcjonalne:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\i1}Gamma {\i1}left(frac {\i1}{\i1}prawda?{\i0} {\i1}Zeta(s\i0} {\i1}pi {\i1}(s\i0}}Gamma {\i1}left(frac {\i0}{\i1}prawda?{\i0} {\i1} }
Bernhard Riemann znalazł związek między tymi dwiema funkcjami. Było to w 1859 r. pismo "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenenen Grösse" ("O liczbie pierwszych cyfr mniejszej od danej ilości").
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . Gamma (z) =int _{0} {\i1}infty {\i0} {\i1}frac {\i1}{\i1}e^{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1} }
Pytania i odpowiedzi
P: Czym jest funkcja gamma w matematyce?
O: Funkcja gamma jest kluczowym zagadnieniem w dziedzinie funkcji specjalnych w matematyce.
P: Jakie jest rozszerzenie funkcji czynnikowej na wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem liczb całkowitych ujemnych?
O: Funkcja gamma jest rozszerzeniem funkcji factorial na wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem liczb całkowitych ujemnych.
P: Jak definiuje się funkcję gamma dla liczb całkowitych dodatnich?
O: Dla liczb całkowitych dodatnich funkcja gamma jest zdefiniowana jako Γ(n) = (n-1)!
P: Czy funkcja gamma jest zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych?
O: Tak, funkcja gamma jest zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych.
P: Czy funkcja gamma jest określona dla liczb całkowitych ujemnych i zera?
O: Nie, funkcja gamma nie jest zdefiniowana dla liczb całkowitych ujemnych i zera.
P: Jak zdefiniowana jest funkcja gamma dla liczby zespolonej, której część rzeczywista nie jest liczbą całkowitą ujemną?
O: Funkcja gamma jest zdefiniowana dla liczby zespolonej, której część rzeczywista nie jest ujemną liczbą całkowitą, za pomocą specjalnego wzoru, który nie jest podany w tekście.
P: Dlaczego funkcja gamma jest ważna w matematyce?
O: Funkcja gamma jest ważna w matematyce, ponieważ jest kluczowym tematem w dziedzinie funkcji specjalnych i rozszerza funkcję czynnikową na wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem liczb całkowitych ujemnych.