Wypukły regularny 4-politop
W matematyce wypukły regularny 4-politop (lub polichoron) to 4-wymiarowy (4D) wielościan, który jest zarówno regularny, jak i wypukły. Są to czterowymiarowe odpowiedniki brył platońskich (w trzech wymiarach) i wielokątów foremnych (w dwóch wymiarach).
Wielokąty te zostały po raz pierwszy opisane przez szwajcarskiego matematyka Ludwiga Schläfli w połowie XIX wieku. Schläfli odkrył, że istnieje dokładnie sześć takich figur. Pięć z nich można uważać za bardziej wymiarowe odpowiedniki brył platońskich. Jest jeszcze jedna figura (24-komórkowa), która nie ma swojego trójwymiarowego odpowiednika.
Każdy wypukły regularny 4-polytop jest ograniczony zbiorem trójwymiarowych komórek, które są bryłami platońskimi tego samego typu i rozmiaru. Są one dopasowane do siebie wzdłuż odpowiednich ścian w sposób regularny.
Właściwości
W poniższych tabelach zestawiono niektóre własności sześciu wypukłych polichromii regularnych. Grupy symetrii tych polichor są grupami Coxetera i są podane w notacji opisanej w tym artykule. Liczba po nazwie grupy oznacza jej rząd.
| Nazwy | Rodzina | Schläfli | Wierzchołki | Krawędzie | Twarze | Komórki | Liczby wierzchołkowe | Podwójny polytop | Grupa symetrii | |
| Pentachoron5-cellpentatopehyperpyramidhypertetrahedron4-simplex | simpleks | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 5-tetrahedry | czworościany | (samo-dualny) | A4 | 120 |
| Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube | hipersześcian | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 | 8 | czworościany | 16-komórkowy | B4 | 384 |
| Heksadecachoron16-komórkowyortoplekshyperoctahedron4-ortopleksy | polipropylen krzyżowy | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 | 16-tetrahedrów | oktahedra | tesseract | B4 | 384 |
| Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 | 24oktahedry | (samo-dualny) | F4 | 1152 | ||
| Hekatonicosachoron120-celldodecaplexhyperdodecahedronpolydodecahedron | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 | 120dodecahedra | czworościany | 600-komórkowy | H4 | 14400 | |
| Heksakosichoron600-komórkowytetraplekshypericosahedronpolytetrahedron | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 | 600tetrahedra | ikozahedry | 120-komórkowy | H4 | 14400 | |
Ponieważ granice każdej z tych figur są topologicznie równoważne trójsferze, której cecha Eulera jest równa zero, mamy 4-wymiarowy analog wzoru Eulera na wielościan:
N 0 - N 1 + N 2 - N 3 = 0 {{displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0}. 
gdzie Nk oznacza liczbę k-powierzchni w wielościanie (wierzchołek jest powierzchnią 0, krawędź jest powierzchnią 1 itd.)
Wizualizacje
Poniższa tabela pokazuje niektóre dwuwymiarowe projekcje tych wielościanów. Różne inne wizualizacje można znaleźć na innych stronach internetowych poniżej. Wykresy diagramów Coxetera-Dynkina są również podane poniżej symboluSchläfli.
| 5-komórkowy | 8-komórkowy | 16-komórkowy | 24-komórkowy | 120-komórkowy | 600-komórkowy |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
|
|
|
|
|
|
|
| Rzuty ortograficzne wireframe wewnątrz wielokątów Petrie. | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Rzuty ortograficzne bryły | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Diagramy Schlegela (rzutowanie perspektywiczne) | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Projekcje stereograficzne (hipersferyczne) | |||||
|
|
|
|
|
|
|
Powiązane strony
- Regularny wielobok
- Bryła platońska
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest wypukły regularny 4-policzek?
O: Wypukły regularny czteropolitop to czterowymiarowy wielobok, który jest zarówno regularny, jak i wypukły.
P: Jakie są analogie wypukłych regularnych 4-policząstek w trzech i dwóch wymiarach?
O: Analogiem 4-policząstek wypukłych w trzech wymiarach są bryły platońskie, a w dwóch wymiarach są to wielokąty foremne.
P: Kto pierwszy opisał wypukłe 4-policząstki regularne?
O: Szwajcarski matematyk Ludwig Schläfli po raz pierwszy opisał wypukłe 4-policząstki regularne w połowie XIX wieku.
P: Ile jest wypukłych regularnych 4-policząstek?
O: Jest dokładnie sześć wypukłych regularnych 4-policząstek.
P: Jaka jest wyjątkowa cecha 24-komórkowego wieloboku wśród 4-policząstek wypukłych?
O: Wielokąt 24-komórkowy nie ma trójwymiarowego odpowiednika wśród wypukłych regularnych czteropolitów.
P: Jakie są trójwymiarowe komórki, które wiążą każdy wypukły regularny czteropolitop?
O: Każdy wypukły regularny czteropolitop jest ograniczony zbiorem trójwymiarowych komórek, które są wszystkimi bryłami platońskimi tego samego typu i rozmiaru.
P: Jak są dopasowane do siebie trójwymiarowe komórki w wypukłym czteropolu foremnym?
O: W wypukłym regularnym czteropoliptyku trójwymiarowe komórki są dopasowane do siebie wzdłuż swoich powierzchni w sposób regularny.
