Funkcja stała (matematyka)
Artykuł wyjaśniający pojęcie funkcji stałej: definicja, własności, przykłady, rola w analizie i topologii oraz typowe zastosowania i rozróżnienia.
Przegląd
Funkcja stała to funkcja, której wartość przyjmuje tę samą liczbę lub element obrazu dla każdego argumentu z dziedziny. Najprostszy przykład to y(x) = 4 — niezależnie od x wartość y wynosi 4. W praktyce pojęcie to pojawia się w różnych działach matematyki, od analizy po teorię mnogości, i służy jako podstawowy przykład o bardzo prostych własnościach. 
Galeria obrazów
2 Obrazy
Definicja i wykres
Formalnie: funkcja f: X → Y jest stała, jeśli istnieje c ∈ Y takie, że dla każdego x ∈ X zachodzi f(x) = c. Istotne są tu pojęcia dziedziny X i przeciwdziedziny Y — funkcja może być stała niezależnie od tego, jak duża jest dziedzina. W przypadku funkcji rzeczywistych f: R → R wykresem funkcji stałej jest linia pozioma w układzie współrzędnych. 
Typowe własności
- Ciagłość: każdy odwzorowanie stałe między przestrzeniami topologicznymi jest ciągłe.
- Pochodna: dla funkcji rzeczywistej stałej na przedziale pochodna wynosi 0 wszędzie na tym przedziale.
- Różne typy ekstremów: wartość stała jest jednocześnie minimum i maksimum globalnym (jeśli rozważamy porządek w zbiorze wartości).
- Iniektywność i surjektywność: funkcja stała może być injektywna tylko wtedy, gdy dziedzina ma co najwyżej jeden element; surjektywność zależy od tego, czy stała wartość należy do przeciwdziedziny.
Historia i kontekst
Pojęcie funkcji stałej jest elementarne i występuje w matematyce od bardzo dawna jako przykład najprostszej niezmiennej zależności. W analizie służy do ilustrowania pojęć granicy, pochodnej i całki; w algebrze i teorii wielomianów traktuje się funkcje stałe jako wielomiany stopnia zerowego (z zastrzeżeniem pewnych konwencji dotyczących wielomianu zerowego). W topologii i teorii homologii funkcje stałe występują jako podstawowe przykłady map o prostych własnościach homotopijnych.
Zastosowania i przykłady
Funkcje stałe pojawiają się w modelowaniu jako opis wartości odniesienia lub stanu spoczynkowego (np. sygnał o stałym poziomie). W analizie matematycznej służą jako przykładowe funkcje ciągłe i całkowalne; całka z funkcji stałej f(x)=c na przedziale [a,b] równa jest c(b-a). W topologii prosta mapą stałą bywa wykorzystywana do konstrukcji homotopii i jako przykład mapy nieistotnej homotopijnie. 
Różnice i uwagi
Warto rozróżnić funkcję stałą od funkcji okresowej: każda funkcja stała jest okresowa dla dowolnego niezerowego okresu, ale nie każda funkcja okresowa jest stała. Funkcja zerowa (f(x)=0) to szczególny przypadek funkcji stałej o istotnych własnościach algebraicznych i analitycznych. Ponadto funkcje stałe są zawsze ograniczone, mierzalne i (dla rzeczywistych zmiennych) Riemannowsko i Lebesgue'owsko całkowalne. Dalsze informacje o funkcjach i ich własnościach można znaleźć w źródłach: podstawy funkcji oraz funkcje w teorii mnogości.
Podstawowe właściwości
Formalnie, funkcja stała f(x):R→R ma postać f ( x ) = c {\i0}stylu f(x)=c}
. Zwykle piszemy y ( x ) = c {\i1}(styropian y(x)=c) lub po prostu 
y = c {\i0}(styropian y=c)
.
- Funkcja y=c posiada 2 zmienne x i у oraz 1 stałą c. (W tej postaci funkcji nie widzimy x, ale jest tam).
- Stała c to prawdziwa liczba. Przed rozpoczęciem pracy z funkcją liniową zastępujemy c liczbą rzeczywistą.
- Domeną lub wejściem y=c jest R. Tak więc można wprowadzić dowolną rzeczywistą liczbę x. Wyjściem jest jednak zawsze wartość c.
- Zakres y=c to również R. Ponieważ jednak wyjście jest zawsze wartością c, kodomaina jest tylko c.
Przykład: Funkcja y ( x ) = 4 {\i1} lub tylko y = 4 {\i1}wyświetlacz y=4}
jest specyficzną funkcją stałą, której wartość wyjściowa wynosi c = 4 {\i1} 
. Domeną są wszystkie prawdziwe liczby ℝ. Domena kodowa jest tylko {4}. Mianowicie, y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,....jest wartość wejściowa x, wyjście ma wartość "4".
- Wykres funkcji stałej y = c {\i1}jest poziomą linią w płaszczyźnie, która przechodzi przez punkt ( 0 , c ) {\i1}wyświetlacz (0,c)}
. - Jeśli c≠0, funkcja stała y=c jest wielomianem w jednej zmiennej x stopnia zerowego.
- Punktem (0,c) jest punkt y-intercepcji tej funkcji.
- Ta funkcja nie posiada x-intercepcji. To znaczy, że nie ma korzenia ani zera. Nigdy nie przecina osi x.
- Jeśli c=0, to mamy y=0. Jest to wielomian zero lub funkcja identycznie zero. Każda liczba rzeczywista x jest pierwiastkiem. Wykres y=0 jest osią x w płaszczyźnie.
- Stała funkcja jest funkcją parzystą, więc oś y jest osią symetrii dla każdej stałej funkcji.
Pochodna stałej funkcji
W kontekście, w którym jest on zdefiniowany, pochodna funkcji mierzy szybkość zmian wartości funkcji (wyjścia) w odniesieniu do zmian wartości wejściowych. Stała funkcja nie zmienia się, więc jej pochodna wynosi 0. Jest to często zapisywane: ( c ) ′ = 0 {\i1}...c)'=0} 
Przykład: y ( x ) = - 2 {\i1}wyświetlacz y(x)=-{\i0}
y jest identyczną funkcją zerową y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\i1}(styl y' x)=(-{\i1}sqrt {2})'=0} 
Odwrócenie (przeciwieństwo) jest również prawdą. Oznacza to, że jeżeli pochodna funkcji jest wszędzie zerowa, to funkcja jest funkcją stałą.
Matematycznie piszemy te dwa stwierdzenia:
Generalizacja
A funkcja f : A → B jest funkcją stałą, jeśli f(a) = f(b) dla każdego a i b w A.
Przykłady
Prawdziwy przykład: Sklep, w którym każdy przedmiot jest sprzedawany za 1 euro. Domeną tej funkcji są przedmioty w sklepie. Dziedziną kodową jest 1 euro.
Przykład: Niech f : A → B gdzie A={X,Y,Z,W} i B={1,2,3} i f(a)=3 dla każdej a∈A. Następnie f jest funkcją stałą.
Przykład: z(x,y)=2 jest stałą funkcją od A=ℝ² do B=ℝ, gdzie każdy punkt (x,y)∈ℝ² jest mapowany na wartość z=2. Wykres tej funkcji stałej jest płaszczyzną poziomą (równoległą do płaszczyzny x0y) w przestrzeni trójwymiarowej, która przechodzi przez punkt (0,0,2).
Przykład: Funkcja biegunowa ρ(φ)=2,5 jest funkcją stałą, która mapuje każdy kąt φ do promienia ρ=2,5. Wykres tej funkcji jest kołem o promieniu 2,5 w płaszczyźnie.
|
|
|
|
Inne właściwości
Istnieją inne właściwości funkcji stałych. Zobacz Stała funkcja na angielskiej Wikipedii
Powiązane strony
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest funkcja stała?
O: Funkcja stała to funkcja, której wartość wyjściowa pozostaje taka sama dla każdej wartości wejściowej.
P: Czy może Pan podać przykład funkcji stałej?
O: Tak, przykładem funkcji stałej jest y(x) = 4, gdzie wartość y(x) jest zawsze równa 4, niezależnie od wartości wejściowej x.
P: Jak można stwierdzić, że dana funkcja jest funkcją stałą?
O: Można stwierdzić, czy funkcja jest funkcją stałą, sprawdzając, czy jej wartość wyjściowa pozostaje taka sama dla każdej wartości wejściowej.
P: Co to znaczy, gdy mówimy, że "y(x)=4" w odniesieniu do funkcji stałych?
O: Kiedy mówimy, że "y(x)=4", oznacza to, że wartość wyjściowa y(x) zawsze będzie równa 4, niezależnie od tego, jaka będzie wartość wejściowa x.
P: Czy istnieje jakiś sposób, aby zwizualizować, jak wygląda funkcja stała?
O: Tak, jednym ze sposobów wizualizacji wyglądu funkcji stałej jest obraz lub wykres.
P: Czy w funkcjach stałych wyjście zmienia się w zależności od wejścia?
O: Nie, w funkcjach stałych wyjście nie zmienia się w zależności od wejścia.
Powiązane artykuły
Autor
AlegsaOnline.com Funkcja stała (matematyka) Leandro Alegsa
URL: https://pl.alegsaonline.com/art/22639
Źródła
- web.cortland.edu : "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function"
- tutorial.math.lamar.edu : "College Algebra"
- tutorial.math.lamar.edu : "Derivative Proofs"
- proofwiki.org : "Zero Derivative implies Constant Function"
- planetmath.org : "Constant Function"