Zmienne koniugatowe (sprzężone) to para wielkości fizycznych, które w mechanice kwantowej reprezentowane są przez operatory (lub macierze) i które niekoniecznie komutują, tzn. kolejność ich zastosowania ma znaczenie. Matematycznie oznacza to, że operacja złożenia tych operatorów w jednym porządku nie musi dawać tego samego wyniku co w porządku odwrotnym — zamiast zwykłego przemnożenia liczb mówimy o mnożeniu operatorów, więc w ogólności AB ≠ BA.
W praktyce najczęściej spotykaną parą zmiennych koniugatowych w mechanice kwantowej jest pozycja i pęd. W formalizmie macierzowym (matrix mechanics) zaproponowanym przez Wernera Heisenberga pęd (zwykle oznaczany przez P) i pozycja (oznaczana przez Q) są reprezentowane przez macierze/operatori i wykazują nieprzemienność: P*Q nie musi równać się Q*P.
W praktycznych obliczeniach, gdy sprowadza się iloczyny operatorów do elementów macierzy, pojawiają się odpowiednie sumy po indeksach. Poniżej pokazano dwie formy iloczynów (z oryginalnymi obrazami równań):
Pierwsze równanie może być użyte do określenia elementów macierzy iloczynu pędu i pozycji:
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\i1}Styl Y(n,n-b)=\i0}sum _{a}^{\i1}, p(n,n-a)q(n-a,n-b)} 
Drugie równanie podaje elementy macierzy iloczynu pozycji i pędu:
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\i1}Style Z(n,n-b)=\i0}sum _{a}^{\i1}, q(n,n-a)p(n-a,n-b)} 
Później, analizując strukturę tych operatorów, Max Born (we współpracy z Heisenbergiem i Pascualem Jordanem) wykazał, że różnica między kolejnymi złożeniami operatorów—zwana komutatorem—jest niezerowa dla pozycji i pędu. Komutator definiuje się jako [Q,P] = QP − PQ. Dla pary pozycja–pęd otrzymuje się znaną relację:
Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {\i1}styk styropianu {\i1}Q*P-P*Q={\i0}frac {\ih}{\i1}[2]pi }}}} 
W bardziej standardowym zapisie używa się stałej zredukowanej Plancka ħ = h/(2π), więc komutator zapisujemy jako
[Q,P] = iħ.
Co to znaczy w praktyce? Kilka kluczowych punktów:
- Operatory a pomiary: W mechanice kwantowej obserwable (wielkości mierzalne) są reprezentowane przez operatory działające na funkcjach falowych. Nieprzemienność oznacza, że pomiar jednej wielkości wpływa na wynik pomiaru drugiej, jeśli wykonamy je w innej kolejności.
- Związek z zasadą nieoznaczoności: Niezerowy komutator między pozycją a pędem prowadzi bezpośrednio do relacji nieoznaczoności Heisenberga: Δx · Δp ≥ ħ/2. Oznacza to, że nie można jednocześnie zmierzyć z dowolną dokładnością zarówno położenia, jak i pędu cząstki.
- Różne reprezentacje: W reprezentacji położeniowej operator pozycji Q działa przez mnożenie przez x, a operator pędu często ma postać P = −iħ d/dx (na odpowiedniej dziedzinie funkcji). W formie macierzowej (heisenbergowskiej) Q i P są macierzami, a ich elementy wpisuje się zgodnie z przytoczonymi powyżej sumami.
- Nie tylko pozycja i pęd: Pary koniugatowe występują także w innych kontekstach, np. para energia–czas (z pewnymi niuansami interpretacyjnymi), kąt–moment pędu itp. Zjawisko nieprzemienności i wynikające z niego ograniczenia dotyczą szerokiej klasy wielkości w fizyce i chemii.
Przykład prosty i intuicyjny: nawet dla macierzy 2×2 można znaleźć takie, które nie komutują (np. macierze Pauliego). Gdy AB ≠ BA, to kolejność mnożeń ma znaczenie i prowadzi do różnych wyników numerycznych.
Historycznie: Heisenberg sformułował nową postać mechaniki kwantowej (matrix mechanics), a Born rozpoznał i sformalizował macierzową naturę tych wielkości i wprowadził istotne interpretacje matematyczne. Współczesna formalizacja używa pojęcia operatorów na przestrzeni Hilberta oraz komutatorów, które stały się podstawą opisu własności nieklasycznych układów kwantowych.
Zmienne koniugatowe i wynikające z nich właściwości mają zastosowanie w całej fizyce, chemii oraz w wielu innych dziedzinach nauki i technologii, od spektroskopii po teorię pola i informację kwantową.
