Wywołanie połączonego prawa gazowego przy użyciu tylko elementarnej algebry może zawierać niespodzianki. Na przykład, zaczynając od trzech praw empirycznych
P=k V T {\i1}, T\i0}, T\i0, \i1! } 
(1) Prawo Gaya-Lussaca, tom przyjęty jako stały
V = k P T {\i1}Styl V=k_{\i1}T\i0},\i0}! } 
(2) Prawo Karola, presja zakładała stałą
P V = k T {\i1}Styl PV=k_{\i0},\i0},\i0} } 
(3) Prawo Boyle'a, przyjęta stała temperatura
gdzie kV, kP i kT są stałymi, można pomnożyć te trzy razem, aby otrzymać
P V P V = k V T k P T k T {\i0}Displaystyle PVPV=k_{\i0}Tk_{\i1}Tk_{\i0}Tk_{\i1}Tk_{\i0}, \i0} } 
Przyjmując pierwiastek kwadratowy z obu stron i dzieląc przez T wydaje się, że daje to pożądany wynik
P V T = k P k V k T {\i1}== {\i1}sqrt {\i1}k_{\i1}k_{\i1}k_{\i1}k_{\i1}{\i1}, {\i1},\i0} } 
Jednakże, jeżeli przed zastosowaniem powyższej procedury dokonuje się jedynie przesunięcia terminów w prawie Boyle'a, kT = PV, to po anulowaniu i przesunięciu terminów uzyskuje się
k T k V k P = T 2 {\i1}frac {\i1}{k_{\i1}{\i1}{\i1}K_{\i1}{\i1}{\i1}=T^{\i1}{\i1}P = T 2 {\i1}\i1} } 
co nie jest zbyt pomocne, jeśli nie wprowadza w błąd.
Fizyczna derywacja, dłuższa, ale bardziej wiarygodna, zaczyna się od uświadomienia sobie, że parametr stałej objętości w prawie Gay-Lussaca będzie się zmieniał wraz ze zmianą objętości systemu. Przy stałej objętości, V1 prawo może pojawić się P = k1T, a przy stałej objętości V2 może pojawić się P = k2T. Oznaczając tę "zmienną objętość stałą" przez kV(V), przepisujemy prawo jako
P = k V ( V ) T {\i1}(V)\i0}(P=k)(V)\i0}(V)\i0}, T)\i0} } 
(4)
To samo odnosi się do stałej w prawie Karola, która może zostać przepisana.
V = k P ( P ) T {\i1}(P)\i0}(P)\i0}(P)\i0},T\i0},\i0} } 
(5)
Starając się znaleźć kV(V), nie należy bezmyślnie eliminować T pomiędzy (4) i (5), ponieważ P jest zmienne w pierwszym, podczas gdy w drugim zakłada się jego stałą. Należy raczej najpierw określić, w jakim sensie równania te są ze sobą zgodne. Aby uzyskać wgląd w to, należy pamiętać, że dwie dowolne zmienne określają trzecią. Wybierając P i V jako niezależne, wyobrażamy sobie wartości T tworzące powierzchnię nad płaszczyzną PV. Zdefiniowane V0 i P0 definiują T0, punkt na tej powierzchni. Zastąpienie tych wartości w (4) i (5), a następnie przestawienie uzysków
T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\i1}== {\i1}frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})} {\i1}quad i {\i1}quad T_{0}= {\i1}frac {\i1}{\i1}(P_{0})}} 
Ponieważ oba te wyrażenia opisują to, co dzieje się w tym samym miejscu na powierzchni, oba wyrażenia liczbowe mogą być zrównane i uporządkowane na nowo
} 
(6)
Należy zauważyć, że 1/kV(V0) i 1/kP(P0) to nachylenia linii ortogonalnych równoległych do osi P/V i przechodzących przez ten punkt na powierzchni powyżej płaszczyzny PV. Stosunek nachylenia tych dwóch linii zależy jedynie od wartości P0/V0 w tym punkcie.
Należy pamiętać, że forma funkcjonalna (6) nie była zależna od wybranego punktu. Ten sam wzór powstałby dla każdej innej kombinacji wartości P i V. Można zatem napisać
k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\i1}(V)\i0}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}dla wszystkich P,{\i0}{\i1}(V)\i0} 
(7)
Oznacza to, że każdy punkt na powierzchni ma swoją własną parę ortogonalnych linii przez nią przechodzących, a ich współczynnik nachylenia zależy tylko od tego punktu. Podczas gdy (6) jest to relacja pomiędzy poszczególnymi nachyleniami i zmiennymi wartościami, (7) jest to relacja pomiędzy funkcjami nachylenia i zmiennymi funkcyjnymi. Odnosi się do każdego punktu na powierzchni, tzn. do każdej kombinacji wartości P i V. Aby rozwiązać to równanie dla funkcji kV(V), należy najpierw rozdzielić zmienne, V po lewej stronie i P po prawej.
V k V ( V ) = P k P ( P ) {\i1}Styl V\i0},k_{\i0}(V)=P\i0,k_{\i0}(P)} 
Wybierz dowolne ciśnienie P1. Prawa strona ocenia na jakąś arbitralną wartość, nazywając ją karbem.
V k V ( V ) = k arb {\i0}, k_{\i1}(V)=k_{\i0}{\i1}Tekstarb {\i0}, \i1}(V)\i0} } 
(8)
To szczególne równanie musi być teraz prawdziwe, nie tylko dla jednej wartości V, ale dla wszystkich wartości V. Jedyna definicja kV(V), która gwarantuje to dla wszystkich V i arbitralnego karbu to
k V ( V ) = k arb V {\i1}(V)=frac {\i0}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1} 
(9)
które mogą być zweryfikowane przez zastąpienie w (8).
Wreszcie, zastąpienie (9) w prawie Gay-Lussaca (4 ) i przeorganizowanie powoduje powstanie połączonego prawa gazowego
P V T = k arb {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}=k_{\i1}{\i1}Tekstarb {\i1},\i0} } 
Zauważ, że choć prawo Boyle'a nie zostało użyte w tym derywacji, to łatwo wywnioskować to z wyniku. Ogólnie rzecz biorąc, każde dwa z trzech praw początkowych to wszystko, co jest potrzebne w tego typu derywacji - wszystkie pary początkowe prowadzą do tego samego połączonego prawa gazowego.
