Połączone prawo gazowe: definicja, wzór i zastosowania

Prawo Boyle'a stanowi, że produkt ciśnieniowo-objętościowy jest stały:

P V = k 1 ( 1 ) {\i1} {\i1}styk PV=k_{1} {\i1}qquad (1)}

Prawo Karola pokazuje, że objętość jest proporcjonalna do temperatury bezwzględnej:

V T = k 2 ( 2 ) {\i1}{\i1}=k_{\i1} {\i1}qquad(2)}

Prawo Gay-Lussaca mówi, że ciśnienie jest proporcjonalne do temperatury bezwzględnej:

P = k 3 T ( 3 ) {\i1}Displastyle P=k_{3}T\i0}qquad (3)}

gdzie P to ciśnienie, V to objętość, a T to temperatura absolutna gazu idealnego.

Poprzez połączenie (1) i jednego z (2) lub (3), możemy uzyskać nowe równanie z P, V i T. Jeśli podzielimy równanie (1) przez temperaturę i pomnożymy równanie (2) przez ciśnienie, otrzymamy nowe:

P V T = k 1 ( T ) T {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}

P V T = k 2 ( P ) P {\i1}{\i1}=k_{\i1}(P)P} .

Ponieważ lewa strona obu równań jest taka sama, dochodzimy do

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\i1}=k_{\i1}(T)}(P)P} ,

co oznacza, że

P V T = stała... Stały... .

Zastępstwo w prawie Avogadro daje idealne równanie gazowe.

Wywołanie połączonego prawa gazowego przy użyciu tylko elementarnej algebry może zawierać niespodzianki. Na przykład, zaczynając od trzech praw empirycznych

P=k V T {\i1}, T\i0}, T\i0, \i1! }           (1) Prawo Gaya-Lussaca, tom przyjęty jako stały

V = k P T {\i1}Styl V=k_{\i1}T\i0},\i0}! }           (2) Prawo Karola, presja zakładała stałą

P V = k T {\i1}Styl PV=k_{\i0},\i0},\i0} }           (3) Prawo Boyle'a, przyjęta stała temperatura

gdzie kV, kP i kT są stałymi, można pomnożyć te trzy razem, aby otrzymać

P V P V = k V T k P T k T {\i0}Displaystyle PVPV=k_{\i0}Tk_{\i1}Tk_{\i0}Tk_{\i1}Tk_{\i0}, \i0} }

Przyjmując pierwiastek kwadratowy z obu stron i dzieląc przez T wydaje się, że daje to pożądany wynik

P V T = k P k V k T {\i1}== {\i1}sqrt {\i1}k_{\i1}k_{\i1}k_{\i1}k_{\i1}{\i1}, {\i1},\i0} }

Jednakże, jeżeli przed zastosowaniem powyższej procedury dokonuje się jedynie przesunięcia terminów w prawie Boyle'a, kT = PV, to po anulowaniu i przesunięciu terminów uzyskuje się

k T k V k P = T 2 {\i1}frac {\i1}{k_{\i1}{\i1}{\i1}K_{\i1}{\i1}{\i1}=T^{\i1}{\i1}P = T 2 {\i1}\i1} }

co nie jest zbyt pomocne, jeśli nie wprowadza w błąd.

Fizyczna derywacja, dłuższa, ale bardziej wiarygodna, zaczyna się od uświadomienia sobie, że parametr stałej objętości w prawie Gay-Lussaca będzie się zmieniał wraz ze zmianą objętości systemu. Przy stałej objętości, V1 prawo może pojawić się P = k1T, a przy stałej objętości V2 może pojawić się P = k2T. Oznaczając tę "zmienną objętość stałą" przez kV(V), przepisujemy prawo jako

P = k V ( V ) T {\i1}(V)\i0}(P=k)(V)\i0}(V)\i0}, T)\i0} }           (4)

To samo odnosi się do stałej w prawie Karola, która może zostać przepisana.

V = k P ( P ) T {\i1}(P)\i0}(P)\i0}(P)\i0},T\i0},\i0} }           (5)

Starając się znaleźć kV(V), nie należy bezmyślnie eliminować T pomiędzy (4) i (5), ponieważ P jest zmienne w pierwszym, podczas gdy w drugim zakłada się jego stałą. Należy raczej najpierw określić, w jakim sensie równania te są ze sobą zgodne. Aby uzyskać wgląd w to, należy pamiętać, że dwie dowolne zmienne określają trzecią. Wybierając P i V jako niezależne, wyobrażamy sobie wartości T tworzące powierzchnię nad płaszczyzną PV. Zdefiniowane V0 i P0 definiują T0, punkt na tej powierzchni. Zastąpienie tych wartości w (4) i (5), a następnie przestawienie uzysków

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\i1}== {\i1}frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})} {\i1}quad i {\i1}quad T_{0}= {\i1}frac {\i1}{\i1}(P_{0})}}

Ponieważ oba te wyrażenia opisują to, co dzieje się w tym samym miejscu na powierzchni, oba wyrażenia liczbowe mogą być zrównane i uporządkowane na nowo

 }           (6)

Należy zauważyć, że 1/kV(V0) i 1/kP(P0) to nachylenia linii ortogonalnych równoległych do osi P/V i przechodzących przez ten punkt na powierzchni powyżej płaszczyzny PV. Stosunek nachylenia tych dwóch linii zależy jedynie od wartości P0/V0 w tym punkcie.

Należy pamiętać, że forma funkcjonalna (6) nie była zależna od wybranego punktu. Ten sam wzór powstałby dla każdej innej kombinacji wartości P i V. Można zatem napisać

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\i1}(V)\i0}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}dla wszystkich P,{\i0}{\i1}(V)\i0}           (7)

Oznacza to, że każdy punkt na powierzchni ma swoją własną parę ortogonalnych linii przez nią przechodzących, a ich współczynnik nachylenia zależy tylko od tego punktu. Podczas gdy (6) jest to relacja pomiędzy poszczególnymi nachyleniami i zmiennymi wartościami, (7) jest to relacja pomiędzy funkcjami nachylenia i zmiennymi funkcyjnymi. Odnosi się do każdego punktu na powierzchni, tzn. do każdej kombinacji wartości P i V. Aby rozwiązać to równanie dla funkcji kV(V), należy najpierw rozdzielić zmienne, V po lewej stronie i P po prawej.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\i1}Styl V\i0},k_{\i0}(V)=P\i0,k_{\i0}(P)}

Wybierz dowolne ciśnienie P1. Prawa strona ocenia na jakąś arbitralną wartość, nazywając ją _karbem.

V k V ( V ) = k arb {\i0}, k_{\i1}(V)=k_{\i0}{\i1}Tekstarb {\i0}, \i1}(V)\i0} }           (8)

To szczególne równanie musi być teraz prawdziwe, nie tylko dla jednej wartości V, ale dla wszystkich wartości V. Jedyna definicja kV(V), która gwarantuje to dla wszystkich V i arbitralnego _karbu to

k V ( V ) = k arb V {\i1}(V)=frac {\i0}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1} (9)

które mogą być zweryfikowane przez zastąpienie w (8).

Wreszcie, zastąpienie (9) w prawie Gay-Lussaca (4 ) i przeorganizowanie powoduje powstanie połączonego prawa gazowego

P V T = k arb {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}=k_{\i1}{\i1}Tekstarb {\i1},\i0} }

Zauważ, że choć prawo Boyle'a nie zostało użyte w tym derywacji, to łatwo wywnioskować to z wyniku. Ogólnie rzecz biorąc, każde dwa z trzech praw początkowych to wszystko, co jest potrzebne w tego typu derywacji - wszystkie pary początkowe prowadzą do tego samego połączonego prawa gazowego.

Połączone prawo gazowe może być wykorzystane do wyjaśnienia mechaniki, gdzie ciśnienie, temperatura i objętość są naruszone. Na przykład: klimatyzatory, lodówki i tworzenie się chmur, a także zastosowanie w mechanice płynów i termodynamice.

• Prawo Daltona