Przejdź do treści
Strona główna

Argument przekątniowy Cantora — definicja i dowód kardynalności

Argument przekątniowy Cantora — przejrzysta definicja i krok po kroku dowód kardynalności nieskończonych zbiorów; zrozum, dlaczego niektóre zbiory są “większe”.

Autor: Utworzono: Zaktualizowano:

Argument Cantora z przekątnej to matematyczna metoda najczęściej wykorzystywana do wykazania, że pewne zbiory nie mają tej samej kardynalności — innymi słowy, że nie istnieje między nimi bijekcja. Autorem tej idei jest Cantor, który publikował prace dotyczące kardynalności i teorii mnogości w drugiej połowie XIX wieku. Jego najbardziej znane obserwacje związane z argumentem przekątniowym i wynikiami na temat zbioru liczb rzeczywistych oraz zbioru podzbiorów pojawiły się w pracach z tego okresu. Argument przekątniowy jest mniej intuicyjny niż wprowadzenie pojęcia bijekcji dla zbiorów skończonych, dlatego warto zaprezentować go w kilku wariantach i z pełnym dowodem.

Co to znaczy mieć tę samą kardynalność?

Dwa zbiory A i B mają tę samą kardynalność wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja (jeden‑do‑jednego i na) f: A → B. Dla zbiorów skończonych intuicja jest prosta. Dla nieskończonych zbiorów pojęcie to prowadzi do różnych „wielkości nieskończoności” — przykładowo zbiór liczb naturalnych jest przeliczalny (ma taką samą kardynalność jak N), zaś zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny; właśnie to ostatnie stwierdzenie najczęściej dowodzi się argumentem przekątniowym.

Wersja dla ciągów binarnych (dowód nieprzeliczalności)

Rozważmy zbiór wszystkich nieskończonych ciągów cyfr 0 i 1 (czyli funkcji x: N → {0,1}). Załóżmy dla kontrastu, że ten zbiór jest przeliczalny, tzn. można wszystkie takie ciągi wypisać jako listę:

  • c1 = (c11, c12, c13, ...)
  • c2 = (c21, c22, c23, ...)
  • c3 = (c31, c32, c33, ...)
  • …

Teraz skonstruujmy nowy ciąg d = (d1, d2, d3, ...), gdzie dn = 1 − cnn (czyli zmieniamy n‑ty wyraz n‑tego ciągu). Ten ciąg d różni się od każdego ci przynajmniej na pozycji i — stąd nie może występować w liście. To przeczy założeniu, że lista zawiera wszystkie ciągi. Wniosek: zbiór wszystkich nieskończonych ciągów {0,1}^N jest nieprzeliczalny.

Ta wersja jest najbardziej elementarna i unikamy tu problemów z reprezentacją rozwinięć dziesiętnych (np. 0,4999... = 0,5000...) przez pracę w systemie binarnym albo przez dopuszczenie jedynie rozwinięć, które nie kończą się na nieskończoną sekwencję 9.

Wersja klasyczna dla liczb rzeczywistych

Zwykły argument pokazuje, że nie istnieje bijekcja między N a zbioru liczb rzeczywistych w przedziale (0,1). Zakłada się listę wszystkich liczb w postaci rozwinięć dziesiętnych i konstruuje nową liczbę różniącą się od n‑tej liczby na n‑tej pozycji (np. zastępując cyfrę 5 cyfrą 4, inaczej niż w n‑tym rozwinięciu). W ten sposób uzyskuje się liczbę, która nie występuje na liście — sprzeczność. Stąd liczby rzeczywiste są nieprzeliczalne.

Cantorowskie twierdzenie o zbiorze potęgowym (uniwersalny dowód przekątniowy)

Argument przekątniowy ma uogólnienie, które daje silniejszy wynik: dla dowolnego zbioru X zbiór wszystkich podzbiorów P(X) (zbiór potęgowy) ma ściśle większą kardynalność niż X. Formalnie: nie istnieje surjekcja f: X → P(X). Dowód jest prosty i elegancki.

Załóżmy przeciwnie, że istnieje funkcja f: X → P(X) będąca surjekcją. Zdefiniujmy podzbiór D ⊆ X przez

D = { x ∈ X : x ∉ f(x) }.

Teraz, ponieważ f jest surjekcją, istnieje element y ∈ X taki, że f(y) = D. Pojawia się jednak pytanie: czy y należy do D?

  • Jeśli y ∈ D, to z definicji D mamy y ∉ f(y) = D — sprzeczność.
  • Jeśli y ∉ D, to z definicji D mamy y ∈ f(y) = D — także sprzeczność.

Obie możliwości prowadzą do sprzeczności, więc nasze początkowe założenie, że f jest suriekcją, było fałszywe. Wniosek: nie istnieje bijekcja między X a P(X), a zatem |P(X)| > |X|.

Konsekwencje i uwagi

  • Hierarchia nieskończoności: Z twierdzenia Cantora wynika, że dla każdego zbioru X istnieje zbiór o większej kardynalności (P(X)), co prowadzi do nieskończonej wieży coraz większych kardynalności.
  • Nieprzeliczalność continuum: Argument przekątniowy daje konstruktywny dowód, że zbiór liczb rzeczywistych ma większą kardynalność niż zbiór liczb naturalnych; tę większą kardynalność nazywa się często continuum.
  • Kontrowersje historyczne i filozoficzne: Odkrycia Cantora wywołały silne reakcje wśród współczesnych mu matematyków i filozofów; teoria mnogości i pojęcie różnych rozmiarów nieskończoności miały istotny wpływ na dalszy rozwój matematyki.
  • Uwaga techniczna: Przy dowodach dla rozwinięć dziesiętnych trzeba uważać na liczby o dwóch rozwinięciach (np. 0,4999... = 0,5000...); typowym obejściem jest użycie rozwinięć binarnych lub ograniczenie się do rozwinięć nieskończonych niekończących się w samych dziewiątkach.

Argument przekątniowy jest jednym z najbardziej przejrzystych i siłowych narzędzi teorii mnogości — pokazuje nie tylko, że pewne zbiory są większe niż inne, lecz także daje konstrukcję konkretnego elementu (przekątnej), który nie może należeć do zakładanej listy lub obrazu funkcji.

Pierwszy argument Cantora z przekątnej

Poniższy przykład wykorzystuje dwa najprostsze nieskończone zbiory, zbiór liczb naturalnych i zbiór ułamków dodatnich. Chodzi o to, by pokazać, że oba te zbiory, N { {{displaystyle \mathbb {\i0}} } {\displaystyle \mathbb {N} }i Q + { {displaystyle \mathbb {Q^{+}} } {\displaystyle \mathbb {Q^{+}} }mają tę samą kardynalność.

Najpierw ułamki są wyrównywane w tablicy, w następujący sposób:

1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 2 2 3 2 4 2 5 ⋯ 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 3 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {{displaystyle {{begin{array}{cccccccc}{&&{tfrac {1}{1}}}&&{tfrac {1}{2}}&&{tfrac {1}{3}}&&{tfrac {1}{4}}&&{tfrac {1}{5}}& &{tfrac {2}{1}}&&{tfrac {2}{2}}&&{{tfrac {2}{3}}&&{tfrac {2}{4}}&{tfrac {2}{5}}&&cdots \&&&&&&&& {{tfrac {3}{1}}&&&{tfrac {3}{2}}&&{tfrac {3}{3}}&&{tfrac {3}{4}}&{tfrac {3}{5}}&&cdots \&&&&&&&&&&tfrac {4}{1}}&&{tfrac {4}{2}}&&{tfrac {4}{3}}&&{tfrac {4}{4}}&&{tfrac {4}{5}}&{{tfrac {5}{1}}&&{tfrac {5}{2}}&&{tfrac {5}{3}}&&&{{tfrac {5}{4}}&&{tfrac {5}{5}}}&&cdots &&vdots &&vdots &&vdots &&vdots &&vdots &&end{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&{\tfrac {1}{3}}&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&{\tfrac {2}{2}}&&{\tfrac {2}{3}}&&{\tfrac {2}{4}}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&{\tfrac {3}{3}}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}}

Następnie liczby te są liczone w sposób przedstawiony na rysunku. Ułamki, które można uprościć, pomijamy:

1 1   ( 1 ) → 1 2   ( 2 ) 1 3   ( 5 ) → 1 4   ( 6 ) 1 5   ( 11 ) → ↙  ↙  2 1   ( 3 ) 2 2   ( ⋅ ) 2 3   ( 7 ) 2 4   ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓  ↙  3 1   ( 4 ) 3 2   ( 8 ) 3 3   ( ⋅ ) 3 4 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ⋅ ) 4 3 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 4 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {displaystyle { {begin{array}{lclclclclc}{tfrac {1}{1}}}}}{{tfrac {1}{2}}} {{tfrac {1}{3}}} {{color {Blue}(5)}&&{{color {MidnightBlue}}&&{tfrac {1}{4}}} _{color {Blue}(6)}&{tfrac {1}{5}}} _{color {Blue}(11)}&{{color {MidnightBlue}}rightarrow }&&{color {MidnightBlue}}swarrow }&&{color {MidnightBlue}}nearrow }&{{tfrac {2}{1}}}}&&{tfrac {2}{1}}} {{tfrac {2}{1}}} {{tfrac {2}{1}}} {{tfrac {2}{1}}}(3)}&&&{{tfrac {2}{2}}} {{tfrac {2}{3}}} {{color {Blue}(7)}&&{tfrac {2}{4}}} {{color {Blue}(\ot )}&&&&&tfrac {2}{5}}&cdots &{color {MidnightBlue}}downarrow }&{color {MidnightBlue}}nearrow }&{{color {MidnightBlue}}swarrow }&&&{color {MidnightBlue}}nearrow }} &&&& {{tfrac {3}{1}}} {{color {Blue}(4)}&&{{tfrac {3}{2}}} {{color {Blue}(8)}&&{tfrac {3}{3}}} {{color {Blue}(\ot )}&&{tfrac {3}{4}}&&&&&tfrac {3}{5}}&cdots &&{color {MidnightBlue}}swarrow }&&{color {MidnightBlue}}nearrow }}&&&&&&&&{tfrac {4}{1}}} {{color {Blue}(9)}&&{tfrac {4}{2}}} {{color {Blue}(\cdot )}&&{tfrac {4}{3}}&&&&&tfrac {4}{4}}&&tfrac {4}{5}}&&cdots &{color {MidnightBlue}}downarrow }&{color {MidnightBlue}}nearrow }}&&&&&&&& {{tfrac {5}{1}}}&&&{tfrac {5}{2}}&&{tfrac {5}{3}}&&{tfrac {5}{4}}&&{tfrac {5}{5}}&&&cdots &&vdots &&vdots &&vdots &&vdots &&vdots &&end{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{lclclclclc}{\tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{2}}\ _{\color {Blue}(2)}&&{\tfrac {1}{3}}\ _{\color {Blue}(5)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{4}}\ _{\color {Blue}(6)}&&{\tfrac {1}{5}}\ _{\color {Blue}(11)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&\\{\tfrac {2}{1}}\ _{\color {Blue}(3)}&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\color {Blue}(7)}&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&\\{\tfrac {3}{1}}\ _{\color {Blue}(4)}&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\color {Blue}(8)}&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}\ _{\color {Blue}(9)}&&{\tfrac {4}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}\ _{\color {Blue}(10)}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}}

W ten sposób liczone są ułamki:

{{color {Blue}2}&{color {Blue}3}&{color {Blue}4}&{color {Blue}5}&{{color {Blue}6}&{color {Blue}7}&{color {Blue}8}&{color {Blue}9}&{color {Blue}10}&{color {Blue}11}&{color {Blue}}{{color {Blue}}}&{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}}&{color {MidnightBlue}}}{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{color {MidnightBlue}downarrow }&{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}downarrow }&{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}}1&{tfrac {1}{2}}&2&3&1}{3}}&{tfrac {1}{3}}&{tfrac {1}{4}}&{tfrac {2}{3}}&{tfrac {3}{2}}&4&5&{tfrac {1}{5}}&{tfrac {1}{5}}}&}end{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\end{array}}}

Pomijając ułamki, które nadal można upraszczać, istnieje bijekcja, która kojarzy każdy element liczb naturalnych z jednym elementem ułamków:

Aby pokazać, że wszystkie liczby naturalne i ułamki mają tę samą kardynalność, trzeba dodać element 0; po każdym ułamku dodaje się jego ujemną wartość;

{{color {Blue}2}&{color {Blue}3}&{color {Blue}4}&{color {Blue}5}&{color {Blue}6}&{color {Blue}7}&{color {Blue}}{{color {Blue}8}&{color {Blue}9}&{color {Blue}10}&{color {Blue}11}&{color {Blue}12}&{color {Blue}13}&{color {Blue}14}&{color {Blue}15}&{color {Blue}}{{color {Blue}}}&{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}}&{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}}&{color {MidnightBlue}}}{{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}}&{color {MidnightBlue}}&{{color {MidnightBlue}}}}{{color {MidnightBlue}}}&{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}&{color {MidnightBlue}}}&{color {MidnightBlue}}}&{color {MidnightBlue}}}&{color {MidnightBlue}}}&{{color {MidnightBlue}}}}0&1&-1&{tfrac {1}{2}}&-{tfrac {1}{2}}&-{tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{tfrac {1}{3}}}&-{tfrac {1}{3}}&{tfrac {1}{4}}&{tfrac {1}{4}}&{tfrac {2}{3}}&-{tfrac {2}{3}}}&{cdots \i0}end{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\end{array}}}

W ten sposób istnieje pełny bijekcja, która przypisuje ułamek do każdej liczby naturalnej. Innymi słowy: oba zbiory mają tę samą kardynalność. Dziś zbiory, które mają tyle samo elementów co zbiór liczb naturalnych nazywamy policzalnymi. Zbiory, które mają mniej elementów niż liczby naturalne nazywamy co najwyżej policzalnymi. Przy takiej definicji, zbiór liczb racjonalnych / ułamków jest policzalny.

Zbiory nieskończone często mają własności sprzeczne z intuicją: David Hilbert pokazał to w eksperymencie, który nazywany jest paradoksem Hilberta z Grand Hotelu.

Liczby rzeczywiste

Zbiór liczb rzeczywistych nie ma tej samej kardynalności co zbiór liczb naturalnych; liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych. Przedstawiona powyżej idea wpłynęła na jego dowód. W swoim artykule z 1891 roku Cantor rozważał zbiór T wszystkich nieskończonych ciągów cyfr binarnych (tzn. każda cyfra jest zerem lub jedynką).

Zaczyna od konstruktywnego dowodu następującego twierdzenia:

Jeżeli s1, s2, ... , sn, ... jest dowolną wyliczanką elementów z T, to zawsze istnieje element s z T, któremu nie odpowiada żaden sn w wyliczance.

Aby to udowodnić, podajemy wyliczenie elementów z T, takie jak np.

s1 =

(0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

...)

s2 =

(1,

1,

1,

1,

1,

1,

1,

...)

s3 =

(0,

1,

0,

1,

0,

1,

0,

...)

s4 =

(1,

0,

1,

0,

1,

0,

1,

...)

s5 =

(1,

1,

0,

1,

0,

1,

1,

...)

s6 =

(0,

0,

1,

1,

0,

1,

1,

...)

s7 =

(1,

0,

0,

0,

1,

0,

0,

...)

...

Sekwencję s konstruuje się wybierając pierwszą cyfrę jako komplementarną do pierwszej cyfry s1 (zamieniając 0 na 1 i odwrotnie), drugą cyfrę jako komplementarną do drugiej cyfry s2, trzecią cyfrę jako komplementarną do trzeciej cyfry s3, oraz ogólnie dla każdego n, n-tą cyfrę jako komplementarną do n-tej cyfry sn. W przykładzie otrzymujemy:

s1

=

(0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

...)

s2

=

(1,

1,

1,

1,

1,

1,

1,

...)

s3

=

(0,

1,

0,

1,

0,

1,

0,

...)

s4

=

(1,

0,

1,

0,

1,

0,

1,

...)

s5

=

(1,

1,

0,

1,

0,

1,

1,

...)

s6

=

(0,

0,

1,

1,

0,

1,

1,

...)

s7

=

(1,

0,

0,

0,

1,

0,

0,

...)

...

s

=

(1,

0,

1,

1,

1,

0,

1,

...)

Z konstrukcji wynika, że s różni się od każdego sn, ponieważ ich n-te cyfry są różne (zaznaczone w przykładzie). Stąd s nie może wystąpić w wyliczeniu.

Na podstawie tego twierdzenia Cantor przeprowadza następnie dowód przez sprzeczność, aby wykazać, że:

Zbiór T jest niepoliczalny.

Zakłada on dla sprzeczności, że T jest policzalny. W takim przypadku wszystkie jego elementy można by zapisać w postaci wyliczenia s1, s2, ... , sn, ... . Zastosowanie poprzedniego twierdzenia do tej wyliczanki dałoby ciąg s nie należący do tej wyliczanki. Jednak s było elementem T, a więc powinno być w wyliczeniu. Jest to sprzeczne z pierwotnym założeniem, więc T musi być niepoliczalne.

Pytania i odpowiedzi

P: Czym jest argument diagonalny Cantora?

O: Argument przekątniowy Cantora to matematyczna metoda dowodzenia, że dwa nieskończone zbiory mają tę samą liczność.

P: Kiedy Cantor opublikował artykuły na temat swojego argumentu diagonalnego?

O: Cantor opublikował artykuły na temat swojego argumentu diagonalnego w latach 1877, 1891 i 1899.

P: Gdzie został opublikowany pierwszy dowód argumentu przekątniowego Cantora?

O: Pierwszy dowód argumentu przekątniowego Cantora został opublikowany w 1890 roku w czasopiśmie Niemieckiego Towarzystwa Matematycznego (Deutsche Mathematiker-Vereinigung).

P: Kiedy według Cantora dwa zbiory mają tę samą liczność?

O: Według Cantora dwa zbiory mają tę samą liczność, jeśli możliwe jest przyporządkowanie elementu drugiego zbioru do każdego elementu pierwszego zbioru oraz przyporządkowanie elementu pierwszego zbioru do każdego elementu drugiego zbioru.

P: Czy twierdzenie Cantora o kardynalności działa dobrze dla zbiorów o skończonej liczbie elementów?

O: Tak, twierdzenie Cantora działa dobrze dla zbiorów o skończonej liczbie elementów.

P: Czy twierdzenie Cantora o kardynalności jest intuicyjne dla zbiorów o nieskończonej liczbie elementów?

O: Nie, twierdzenie Cantora o kardynalności jest mniej intuicyjne dla zbiorów o nieskończonej liczbie elementów.

P: Ile razy Cantor opublikował artykuły na temat swojego argumentu diagonalnego?

O: Cantor opublikował artykuły na temat swojego argumentu diagonalnego trzy razy - w 1877, 1891 i 1899 roku.

Powiązane artykuły

Autor

AlegsaOnline.com Argument przekątniowy Cantora — definicja i dowód kardynalności

URL: https://pl.alegsaonline.com/art/16671

Udostępnij

Źródła