Metoda Newtona
Metoda Newtona pozwala na znalezienie prawdziwych zer funkcji. Algorytm ten jest czasami nazywany metodą Newtona-Raphsona, nazwaną na cześć Sir Isaaca Newtona i Josepha Raphsona.
Metoda wykorzystuje pochodną funkcji w celu znalezienia jej korzeni. Musi zostać dokonana początkowa "wartość odgadnięcia" dla lokalizacji zera. Na podstawie tej wartości oblicza się nowe odgadnięcie za pomocą tego wzoru:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\i1}=x_{n+1}-{\i1}frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}} 
Tutaj xn jest początkowym zgadywaniem, a xn+1 jest następnym zgadywaniem. Funkcja f (dla której rozwiązuje się zero) ma pochodną f'.
Poprzez wielokrotne stosowanie tego wzoru do wygenerowanych zgadywanek (czyli poprzez ustawienie wartości xn na wyjściu wzoru i ponowne obliczenie), wartość zgadywanek zbliży się do zera funkcji.
Metodę Newtona można objaśnić graficznie, patrząc na przecięcia linii stycznych z osią x. Najpierw obliczana jest linia styczna do f w osi xn. Następnie znajduje się punkt przecięcia tej linii stycznej z osią x. Na koniec, jako następne zgadywanie, zapisywana jest pozycja x tego przecięcia, xn+1.
Funkcja (niebieska) służy do obliczenia nachylenia linii stycznej (czerwonej) przy xn.
Problemy z metodą Newtona
Metoda Newtona może szybko znaleźć rozwiązanie, jeśli wartość zgadywania zaczyna się wystarczająco blisko pożądanego korzenia. Jednakże, gdy początkowa wartość zgadywania nie jest bliska i w zależności od funkcji, metoda Newtona może znaleźć odpowiedź powoli lub wcale.
Dalsze czytanie
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Metoda Newtona: Uaktualnione podejście teorii Kantorovicha. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Second printed edition. Seria Matematyka obliczeniowa 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Historical Developments in Convergence Analysis for Newton's and Newton-like Methods". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (red.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century. North-Holland. str. 241-263.
Patrz także
- Twierdzenie Kantorowicza (Oświadczenie o konwergencji metody Newtona, znalezione przez Leonida Kantorowicza)
| Kontrola władz |
|
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest metoda Newtona?
O: Metoda Newtona to algorytm znajdowania prawdziwych zer funkcji. Wykorzystuje ona pochodną funkcji do obliczenia jej korzeni i wymaga początkowej wartości domyślnej dla miejsca zerowego.
P: Kto opracował tę metodę?
O: Metoda ta została opracowana przez Sir Isaaca Newtona i Josepha Raphsona, stąd czasami nazywana jest metodą Newtona-Raphsona.
P: Jak działa ten algorytm?
O: Działanie algorytmu polega na wielokrotnym stosowaniu wzoru, który przyjmuje początkową wartość przypuszczalną (xn) i oblicza nową wartość przypuszczalną (xn+1). Powtarzając ten proces, zgadywane wartości będą zbliżać się do zera funkcji.
P: Co jest potrzebne do zastosowania tego algorytmu?
O: Aby zastosować ten algorytm, trzeba mieć początkową "wartość przypuszczalną" dla miejsca zerowego oraz wiedzę o pochodnej danej funkcji.
P: Jak można wyjaśnić metodę Newtona graficznie?
O: Metodę Newtona możemy wyjaśnić graficznie, patrząc na przecięcia linii stycznych z osią x. Najpierw oblicza się prostą styczną do f w punkcie xn. Następnie znajdujemy punkt przecięcia tej linii stycznej z osią x i zapisujemy jego pozycję x jako nasze kolejne przypuszczenie - xn+1.
P: Czy są jakieś ograniczenia przy stosowaniu metody Newtona?
O: Tak, jeżeli początkowa wartość przypuszczalna jest zbyt odległa od rzeczywistego pierwiastka, może to zająć więcej czasu lub nawet nie dojść do zbieżności z pierwiastkiem z powodu oscylacji wokół niego lub rozbieżności od niego.
