Problem Monty’ego Halla — definicja i wyjaśnienie: dlaczego zmiana daje 2/3 szans
Problem Monty’ego Halla: prosta definicja i klarowne wyjaśnienie, dlaczego zmiana wyboru zwiększa szansę na wygraną z 1/3 do 2/3.
Problem Monty Hall jest słynnym problemem w prawdopodobieństwie. Bazuje na programie telewizyjnym ze Stanów Zjednoczonych, Let's Make a Deal, którego gospodarzem był Monty Hall.
Zasady problemu (wersja klasyczna): za trzema drzwiami znajdują się: za jednymi samochód (główna nagroda), a za pozostałymi dwoma — kozy (nagrody małej wartości). Gracz wybiera jedne drzwi i ich nie otwiera. Następnie gospodarz, który wie, co jest za drzwiami, otwiera inne drzwi, o których jest pewien, że kryją kozę (jeśli istnieją dwie możliwości, wybiera losowo). Na koniec gospodarz daje graczowi możliwość: zostać przy swoim pierwotnym wyborze lub zmienić go na jedyne jeszcze zamknięte drzwi. Przyjęta reguła problemu mówi, że gospodarz zawsze otworzy drzwi z kozą i zawsze zaoferuje zmianę wyboru. Pytanie brzmi: czy zmiana (przełączenie) zwiększa szanse na zdobycie samochodu?
Galeria obrazów
1 Obraz
Intuicyjne wyjaśnienie
Początkowy wybór ma 1/3 szans na to, że skrywa samochód, i 2/3 szans na to, że skrywa kozę. Kluczowe jest, że otwarcie drzwi przez gospodarza nie jest losowe — gospodarz celowo pokazuje kozę i tym samym nie daje żadnej informacji, która „zniszczyłaby” pierwotny rozkład prawdopodobieństw. Dlatego:
- Jeśli pierwotny wybór był samochodem (prawdopodobieństwo 1/3) — to po przełączeniu gracz straci samochód (przełączenie powoduje porażkę).
- Jeśli pierwotny wybór był kozą (prawdopodobieństwo 2/3) — gospodarz pokaże drugą kozę, a po przełączeniu gracz trafi na samochód (przełączenie powoduje wygraną).
Stąd prawdopodobieństwo wygranej przy przełączeniu wynosi 0*(1/3) + 1*(2/3) = 2/3, a przy pozostaniu przy pierwszym wyborze — 1/3. Innymi słowy, przełączając się, podwajasz swoje szanse na samochód z 1/3 do 2/3.
Trzy możliwości (rozpisane)
- (Przegrana): Gracz początkowo wybiera samochód. Gospodarz otwiera jedne z drzwi z kozą. Jeśli gracz zmieni wybór, dostanie kozę.
- (Wygrana): Gracz początkowo wybiera kozę #1. Gospodarz otwiera drugą kozę. Po zmianie wyboru gracz dostaje samochód.
- (Wygrana): Gracz początkowo wybiera kozę #2. Gospodarz otwiera kozę #1. Po zmianie wyboru gracz dostaje samochód.
Przykład z 100 drzwiami (intuicja)
Wyobraź sobie 100 drzwi, za jednymi samochód, za 99 pozostałymi kozy. Wybierasz jedne drzwi — masz 1/100 szans, że to samochód, i 99/100 szans, że to koza. Gospodarz, który wie, gdzie jest samochód, otwiera 98 drzwi z kozą i zostawia jedno nieotwarte (poza twoimi). Jeśli się przełączysz, masz 99/100 szans na wygraną — to łatwiej pokazuje, dlaczego przełączenie jest korzystne.
Kiedy wynik się zmienia?
Wynik 2/3 dla przełączenia zależy od kilku założeń:
- gospodarz zna położenie nagrody,
- gospodarz zawsze otwiera drzwi z kozą,
- gospodarz zawsze oferuje możliwość przełączenia,
- jeśli gospodarz ma wybór między dwoma drzwiami z kozą, wybiera losowo.
Jeśli którykolwiek z tych warunków nie jest spełniony (np. gospodarz otwiera drzwi losowo i może przez przypadek odsłonić samochód, lub czasami nie oferuje zmiany), rozkład prawdopodobieństw może ulec zmianie i przełączenie nie musi dawać 2/3 szans.
Krótko o formalnym rachunku
Poznawczo można to zapisać tak: P(wygrana | przełączenie) = P(pierwotnie wybrałem kozę) = 2/3. Alternatywnie: P(wygrana | nie przełączam) = P(pierwotnie wybrałem samochód) = 1/3. To wynika bezpośrednio z zasad działania gospodarza i z warunkowego przekazania informacji.
Podsumowanie
Przy klasycznych założeniach Problem Monty’ego Halla pokazuje, że zmiana wyboru po otwarciu drzwi przez gospodarza zwiększa szansę na zdobycie samochodu z 1/3 do 2/3. Intuicyjnie: pierwszy wybór ma małą szansę być poprawny (1/3), więc lepiej zaryzykować i przyjąć, że samochód był wśród pozostałych drzwi (2/3), a gospodarz właśnie odsłonił jedne z nich, pozostawiając opcję przełączenia.
Pytania i odpowiedzi
P: Na czym polega problem Monty Hall?
O: Problem Monty'ego Halla to słynny problem z prawdopodobieństwem (szansą), który powstał na podstawie amerykańskiego programu telewizyjnego Let's Make a Deal. Ma troje drzwi, jedne za samochodem i dwoje za kozami.
Q. Co wie prezenter?
O: Prezenter wie, co jest za każdymi drzwiami i zawsze wybiera te drzwi, za którymi jest kozioł.
P: Czy zmiana wyborów zwiększa szanse na otrzymanie samochodu?
O: Tak, zmiana wyborów zwiększa szanse na otrzymanie samochodu z 1/3 (jeden na trzy) do 2/3 (dwa na trzy).
P: Jak działa to prawdopodobieństwo?
O: W oryginalnym wyborze drzwi istnieje tylko 1/3 szansy, że gracz wybierze drzwi z samochodem. Następnie istnieje 2/3 szansy, że jeśli gracz zmieni swój wybór po zobaczeniu, jak gospodarz otwiera kolejne drzwi, otrzyma samochód.
Pytanie.
O: Nie, są trzy różne sposoby na wygraną lub przegraną, w zależności od tego, czy gracz zmieni swój wybór po zobaczeniu, jak gospodarz otwiera jedne z pozostałych drzwi. Jeżeli początkowo wybiorą Państwo prawidłowo, a następnie zmienią swój wybór, przegrywają Państwo; jeżeli początkowo wybiorą Państwo nieprawidłowo, ale następnie zmienią swój wybór, wygrywają Państwo; a jeżeli początkowo wybiorą Państwo prawidłowo, ale nie zmienią swojego wyboru, również wygrywają Państwo.
P: Czy to prawda, że przełączanie zwiększa szanse na wygraną dwa z trzech razy?
O: Tak, to prawda, że zmiana zwiększa szanse na wygraną dwa z trzech razy.
Powiązane artykuły
Autor
AlegsaOnline.com Problem Monty’ego Halla — definicja i wyjaśnienie: dlaczego zmiana daje 2/3 szans Leandro Alegsa
URL: https://pl.alegsaonline.com/art/66510