Problem Monty Hall jest słynnym problemem w prawdopodobieństwie. Bazuje na programie telewizyjnym ze Stanów Zjednoczonych, Let's Make a Deal, którego gospodarzem był Monty Hall.

Zasady problemu (wersja klasyczna): za trzema drzwiami znajdują się: za jednymi samochód (główna nagroda), a za pozostałymi dwoma — kozy (nagrody małej wartości). Gracz wybiera jedne drzwi i ich nie otwiera. Następnie gospodarz, który wie, co jest za drzwiami, otwiera inne drzwi, o których jest pewien, że kryją kozę (jeśli istnieją dwie możliwości, wybiera losowo). Na koniec gospodarz daje graczowi możliwość: zostać przy swoim pierwotnym wyborze lub zmienić go na jedyne jeszcze zamknięte drzwi. Przyjęta reguła problemu mówi, że gospodarz zawsze otworzy drzwi z kozą i zawsze zaoferuje zmianę wyboru. Pytanie brzmi: czy zmiana (przełączenie) zwiększa szanse na zdobycie samochodu?

Intuicyjne wyjaśnienie

Początkowy wybór ma 1/3 szans na to, że skrywa samochód, i 2/3 szans na to, że skrywa kozę. Kluczowe jest, że otwarcie drzwi przez gospodarza nie jest losowe — gospodarz celowo pokazuje kozę i tym samym nie daje żadnej informacji, która „zniszczyłaby” pierwotny rozkład prawdopodobieństw. Dlatego:

  • Jeśli pierwotny wybór był samochodem (prawdopodobieństwo 1/3) — to po przełączeniu gracz straci samochód (przełączenie powoduje porażkę).
  • Jeśli pierwotny wybór był kozą (prawdopodobieństwo 2/3) — gospodarz pokaże drugą kozę, a po przełączeniu gracz trafi na samochód (przełączenie powoduje wygraną).

Stąd prawdopodobieństwo wygranej przy przełączeniu wynosi 0*(1/3) + 1*(2/3) = 2/3, a przy pozostaniu przy pierwszym wyborze — 1/3. Innymi słowy, przełączając się, podwajasz swoje szanse na samochód z 1/3 do 2/3.

Trzy możliwości (rozpisane)

  • (Przegrana): Gracz początkowo wybiera samochód. Gospodarz otwiera jedne z drzwi z kozą. Jeśli gracz zmieni wybór, dostanie kozę.
  • (Wygrana): Gracz początkowo wybiera kozę #1. Gospodarz otwiera drugą kozę. Po zmianie wyboru gracz dostaje samochód.
  • (Wygrana): Gracz początkowo wybiera kozę #2. Gospodarz otwiera kozę #1. Po zmianie wyboru gracz dostaje samochód.

Przykład z 100 drzwiami (intuicja)

Wyobraź sobie 100 drzwi, za jednymi samochód, za 99 pozostałymi kozy. Wybierasz jedne drzwi — masz 1/100 szans, że to samochód, i 99/100 szans, że to koza. Gospodarz, który wie, gdzie jest samochód, otwiera 98 drzwi z kozą i zostawia jedno nieotwarte (poza twoimi). Jeśli się przełączysz, masz 99/100 szans na wygraną — to łatwiej pokazuje, dlaczego przełączenie jest korzystne.

Kiedy wynik się zmienia?

Wynik 2/3 dla przełączenia zależy od kilku założeń:

  • gospodarz zna położenie nagrody,
  • gospodarz zawsze otwiera drzwi z kozą,
  • gospodarz zawsze oferuje możliwość przełączenia,
  • jeśli gospodarz ma wybór między dwoma drzwiami z kozą, wybiera losowo.

Jeśli którykolwiek z tych warunków nie jest spełniony (np. gospodarz otwiera drzwi losowo i może przez przypadek odsłonić samochód, lub czasami nie oferuje zmiany), rozkład prawdopodobieństw może ulec zmianie i przełączenie nie musi dawać 2/3 szans.

Krótko o formalnym rachunku

Poznawczo można to zapisać tak: P(wygrana | przełączenie) = P(pierwotnie wybrałem kozę) = 2/3. Alternatywnie: P(wygrana | nie przełączam) = P(pierwotnie wybrałem samochód) = 1/3. To wynika bezpośrednio z zasad działania gospodarza i z warunkowego przekazania informacji.

Podsumowanie

Przy klasycznych założeniach Problem Monty’ego Halla pokazuje, że zmiana wyboru po otwarciu drzwi przez gospodarza zwiększa szansę na zdobycie samochodu z 1/3 do 2/3. Intuicyjnie: pierwszy wybór ma małą szansę być poprawny (1/3), więc lepiej zaryzykować i przyjąć, że samochód był wśród pozostałych drzwi (2/3), a gospodarz właśnie odsłonił jedne z nich, pozostawiając opcję przełączenia.