Kwantyfikator

Matematyka

To stwierdzenie jest nieskończenie długie:

1 - 2 = 1 + 1, i 2 - 2 = 2 + 2, i 3 - 2 = 3 + 3, ..., i 100 - 2 = 100 + 100, i ..., itd.

Jest to problem dla języków formalnych, ponieważ wypowiedź formalna musi mieć skończoną długość. Problemów tych można uniknąć poprzez użycie kwantyfikacji uniwersalnej. W ten sposób otrzymujemy następujące zwarte stwierdzenie:

Dla każdej liczby naturalnej n, n - 2 = n + n.

W ten sam sposób możemy skrócić nieskończoną sekwencję instrukcji połączonych spójnikiem lub:

1 jest równe 5 + 5, lub 2 jest równe 5 + 5, lub 3 jest równe 5 + 5, ... , albo 100 jest równe 5 + 5, albo ..., itd.

które można przepisać używając kwantyfikacji egzystencjalnej:

Dla co najmniej jednej liczby naturalnej n, n jest równe 5+5.

Notacja

Dwa najczęściej używane kwantyfikatory to kwantyfikator uniwersalny i kwantyfikator istnienia.

Uniwersalny kwantyfikator jest używany do twierdzenia, że dla elementów w zbiorze, wszystkie elementy spełniają pewne kryteria. Zazwyczaj stwierdzenie "dla wszystkich elementów" jest skracane do odwróconego "A", czyli "∀".

Kwantyfikator egzystencjalny jest używany do twierdzenia, że dla elementów w zbiorze istnieje przynajmniej jeden element, który spełnia pewne kryteria. Zazwyczaj stwierdzenie "istnieje element" jest skracane do "E" odwróconego do góry nogami, czyli "∃".

Możemy przepisać przykładową wypowiedź angielską za pomocą symboli, predykatów reprezentujących kryteria i kwantyfikatorów. Przykład: "Każdy z przyjaciół Piotra albo lubi tańczyć, albo lubi chodzić na plażę". Niech X będzie zbiorem wszystkich przyjaciół Piotra. Niech P(x) będzie predykatem "x lubi tańczyć". Niech Q(x) będzie predykatem "x lubi chodzić na plażę". Przykład ten możemy przepisać używając notacji formalnej jako ∀ x ∈ X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {forall {x}{x}X,P(x)∨ Q(x)} . Stwierdzenie to można odczytać jako "dla każdego x, który jest członkiem X, P stosuje się do x lub Q stosuje się do x".

Istnieją inne sposoby użycia kwantyfikatorów w języku formalnym. Każde z poniższych stwierdzeń mówi to samo, co ∃ x ∈ X , P ( x ) {istnieje {x}{x}X,P(x)} :

• ∃ x P {displaystyle ∃ istnieje {x}P}.
• ( ∃ x ) P { {displaystyle (∃ ∃ istnieje {x})P}.
• ( ∃ x . P ) {displaystyle (∃ istnieje x . P )}
• ∃ x ⋅ P {displaystyle ∃ istnieje x ∃ ∃ P}
• ( ∃ x : P ) {displaystyle (∃ istnieje x:P)}
• ∃ x ∈ X P {{displaystyle ∈ ∈ X P}
• ∃ x : X P {{displaystyle \i0}istnieje \i0}.

Istnieje jeszcze kilka innych sposobów reprezentowania kwantyfikatora uniwersalnego:

• ( x ) P {{displaystyle (x)}
• ⋀ x P {{displaystyle {bigwedge _{x}P}}

Kilka powyższych stwierdzeń wyraźnie zawiera X, zbiór elementów, do których odnosi się kwantyfikator. Ten zbiór elementów jest również znany jako zakres kwantyfikacji lub uniwersum dyskursu. Niektóre z powyższych stwierdzeń nie zawierają takiego zbioru. W takim przypadku zbiór ten będzie musiał być podany przed stwierdzeniem. Na przykład, "x jest jabłkiem" musi być podane przed ∃ x P ( x ) {istnieje {x}P(x)} . W tym przypadku składamy oświadczenie, że co najmniej jedno jabłko pasuje do predykatu P.

Formalne użycie kwantyfikatorów nie wymaga użycia symbolu x. Symbol x został użyty w tym artykule, ale można użyć dowolnego symbolu, np. y. Przy wyborze symboli należy pamiętać, aby nie odnosić się do dwóch różnych rzeczy za pomocą tego samego symbolu.

Zagnieżdżanie

Ważne jest, aby umieścić kwantyfikatory we właściwej kolejności. To jest przykładowe zdanie angielskie pokazujące, jak znaczenie zmienia się wraz z kolejnością:

Dla każdej liczby naturalnej n, istnieje liczba naturalna s taka, że s = n2.

To stwierdzenie jest prawdziwe. Mówi ono, że każda liczba naturalna ma kwadrat. Jeśli jednak odwrócimy kolejność kwantyfikatorów:

Istnieje liczba naturalna s, taka, że dla każdej liczby naturalnej n, s = n2.

To stwierdzenie jest fałszywe. Twierdzi ono, że istnieje jedna liczba naturalna s, która jest kwadratem każdej liczby naturalnej.

W pewnych okolicznościach zmiana kolejności kwantyfikatorów nie zmienia znaczenia wypowiedzi. Na przykład:

Istnieje liczba naturalna x i istnieje liczba naturalna y taka, że x = y2.

Inne kwantyfikatory

Istnieją również mniej popularne kwantyfikatory używane przez matematyków.

Przykładem jest kwantyfikator rozwiązania. Służy on do określenia, które elementy rozwiązują dane równanie. Kwantyfikator rozwiązania jest reprezentowany przez § (znak sekcji). Na przykład, poniższe twierdzenie mówi, że kwadraty liczb 0, 1 i 2 są mniejsze od 4. : [ § n ∈ N n 2 ≤ 4 ] = { 0 , 1 , 2 } { {displaystyle ¨left[¨S n¨ w ¨mathbb {N} ¨quad n^{2} ¨leq 4¨right]¨ = ¨left ¨{0,1,2¨right}}

Innymi kwantyfikatorami są:

• Jest wiele elementów takich, że...
• Niewiele jest elementów takich, że...
• Istnieje nieskończenie wiele elementów takich, że...
• Dla wszystkich, ale nieskończenie wielu elementów... (czasami wyrażane jako "dla prawie wszystkich elementów...").
• Istnieje niepoliczalnie wiele elementów takich, że...
• Dla wszystkich, ale niezliczonych elementów...

Historia

Logika terminowa została opracowana przez Arystotelesa. Była to wczesna forma logiki, zawierająca kwantyfikację. Użycie kwantyfikacji było bliższe temu, które występuje w języku naturalnym. Oznaczało to, że wypowiedzi w logice termicznej z kwantyfikatorami były mniej odpowiednie do analizy formalnej. Logika terminowa zawierała kwantyfikatory dla All, Some i No (żaden) w IV wieku p.n.e.

W 1879 roku Gottlob Frege stworzył notację dla kwantyfikacji uniwersalnej. Inaczej niż dzisiaj, reprezentowałby on kwantyfikację uniwersalną poprzez zapisanie zmiennej nad wgłębieniem w prostej linii. Frege nie stworzył notacji dla kwantyfikacji egzystencjalnej. Zamiast tego, połączył kwantyfikację uniwersalną i szereg negacji, aby stworzyć równoważne stwierdzenie. Użycie kwantyfikacji przez Fregego nie było szeroko znane aż do wydania przez Bertranda Russella w 1903 roku Principles of Mathematics.

W 1885 roku Charles Sanders Peirce i jego uczeń Oscar Howard Mitchell również stworzyli notację dla kwantyfikatorów uniwersalnych i egzystencjalnych. Pisali Πx i Σx tam, gdzie my teraz piszemy ∀x i ∃x. Notacja Pierce'a była używana przez wielu matematyków do lat pięćdziesiątych.

W 1897 roku William Ernest Johnson i Giuseppe Peano stworzyli kolejną notację dla kwantyfikacji uniwersalnej i egzystencjalnej. Byli oni pod wpływem poprzedniego zapisu kwantyfikatorów Pierce'a. Johnson i Peano użyli prostego (x) dla kwantyfikacji uniwersalnej i ∃x dla kwantyfikacji egzystencjalnej. Wpływ Peano na matematykę rozpowszechnił tę notację w całej Europie.

W 1935 roku Gerhard Gentzen stworzył symbol ∀ dla uniwersalnej kwantyfikacji. Nie był on powszechnie stosowany aż do lat 60-tych XX wieku.

Powiązane strony

• Logika