Prawo sinusów — definicja, wzór i zastosowania

Prawo sinusów — definicja, wzór i zastosowania. Praktyczny przewodnik: obliczenia boków i kątów, triangulacja, przypadek niejednoznaczny oraz przykłady zastosowań.

Autor: Leandro Alegsa

12-02-2026 22:41

Prawo sinusów (czasem nazywane zasadą sinusów) to jedno z podstawowych twierdzeń w matematyce. Stwierdza ono, że w dowolnym trójkącie relacja między długościami boków a sinusami przeciwległych kątów jest stała. Dla trójkąta o bokach a, b, c i kątach przy tych bokach odpowiednio A, B, C mamy:

a sin A = b sin B = c sin C = D = D {\i1}frac {a}sin A}, =, {\i1}frac {b}sin B}, =, {\i1}frac {c}sin C}, =, D! } ${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!$

Równoważna postać często zapisywana jest jako:

} ${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!$

Stała D oznacza średnicę okręgu opisanego na trójkącie (czasami zapisuje się ją jako 2R, gdzie R to promień okręgu opisanego). Zatem częściej spotykany i użyteczny zapis to

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R,
czyli równoważnie: a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C.

Dowód (krótki)

Najprostszy dowód używa własności okręgu opisanego lub wzoru na pole trójkąta. Jeśli R jest promieniem okręgu opisanego, to długość boku jako długość cięciwy odpowiadającej kątowi A wynosi a = 2R sin A (wynika to z geometrii cięciw i kąta półśrodkowego). Stąd a/sin A = 2R, analogicznie dla pozostałych boków, co daje prawo sinusów.

Inny sposób: pole trójkąta S można zapisać jako S = (1/2) b c sin A oraz jako S = abc/(4R). Zrównując, otrzymujemy a/sin A = 2R.

Zastosowania i przypadki użycia

Prawo sinusów jest szczególnie przydatne do wyznaczania brakujących boków lub kątów w trójkącie, gdy znane są:

dwa kąty i bok (przypadek ASA lub AAS) — wtedy wystarczy jedno zastosowanie prawa sinusów,
dwa boki i kąt, który nie leży między nimi (przypadek SSA) — w tym przypadku występuje tzw. przypadek niejednoznaczny (ambiguous case), który omówię niżej.

Przypadek niejednoznaczny (SSA)

Gdy znamy kąt A oraz boki a (przy kącie A) i b przy sąsiednim wierzchołku, rozwiązanie zależy od porównania a z wysokością h = b sin A:

Jeśli a < h — brak trójkąta (brak rozwiązania).
Jeśli a = h — jedno rozwiązanie (trójkąt prostokątny).
Jeśli h < a < b — istnieją dwa różne trójkąty (dwie możliwe wartości kąta przeciwległego, A i 180° − A),
Jeśli a ≥ b — jedno rozwiązanie.

Przy wyznaczaniu kąta metodą arcsin trzeba pamiętać, że sin θ = sin(180° − θ), stąd możliwa dwuznaczność. Dodatkowo należy sprawdzić, czy suma kątów w otrzymanym trójkącie nie przekracza 180°.

Problemy numeryczne i wskazówki

Funkcja arcsin daje kąt w przedziale [-90°, 90°]; przy obliczeniach geometrycznych trzeba rozważyć drugą możliwość 180°−θ, o ile ma sens geometryczny.
Unikaj dzielenia przez wartości sin A bliskie zeru (kąt bliski 0° lub 180°) — wtedy wynik może być niestabilny numerycznie. W takich sytuacjach korzystniej użyć prawa cosinusów lub metod iteracyjnych.
Przy obliczeniach komputerowych sprawdzaj zaokrąglenia i ewentualne przekroczenia zakresu funkcji trygonometrycznych.

Przykład zastosowania

Załóżmy, że w trójkącie znane są kąty A = 40°, B = 60° i bok c = 10 (przy kącie C = 80°). Chcemy obliczyć a i b. Korzystamy z prawa sinusów:

a / sin 40° = c / sin 80° ⇒ a = c (sin 40° / sin 80°) ≈ 10 · (0,643 / 0,985) ≈ 6,53,
b / sin 60° = c / sin 80° ⇒ b = c (sin 60° / sin 80°) ≈ 10 · (0,866 / 0,985) ≈ 8,79.

Zastosowania praktyczne

Prawo sinusów jest wykorzystywane w geodezji (triangulacja), nawigacji, inżynierii, astronomii i wszędzie tam, gdzie potrzebne jest wyznaczanie odległości lub kątów na podstawie pomiarów kątowych i długości odcinków.

Powiązane twierdzenia

Drugim podstawowym równaniem trygonometrii w zastosowaniach do rozwiązywania trójkątów jest prawo cosinusów, które pozwala znaleźć boki lub kąty, gdy znany jest kąt zawarty między dwoma bokami (przypadek SAS lub SSS).

Trójkąt oznaczony literami potrzebnymi do tego wyjaśnienia. A, B i C są kątami. a jest stroną przeciwną do A . b jest stroną przeciwną do B . c jest stroną przeciwną do C .

Dowód:

Obszar T $T$ dowolnego trójkąta może być zapisany jako połowa jego wysokości (rysowana z wierzchołka nie na podstawie). W zależności od tego, który bok zostanie wybrany jako podstawa, obszar ten może być podany przez

T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 a ( b sin C ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . } $T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.$

Mnożąc je przez 2 / a b c {\i1}styropian 2/abc} $2/abc$ daje

2 T a b c = grzech A a = grzech B b = grzech C c . } ${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.$

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest niebieskie prawo?

O: Prawo sinusa, znane również jako prawo sinusów, to twierdzenie matematyczne, które mówi, że jeśli ma Pan trójkąt taki jak na zdjęciu, to równanie jest prawdziwe.

P: Co mówi to równanie?

O: To równanie mówi, że stosunek długości każdego boku do sinusa jego przeciwległego kąta jest równy.

P: Jak się go używa?

O: Prawo sinusów można wykorzystać do znalezienia pozostałych boków trójkąta, gdy zna się dwa kąty i jeden bok. Można go również stosować, gdy zna się dwa boki i jeden kąt, którego te dwa boki nie zamykają.

P: Co się dzieje w przypadku niejednoznacznym?

O: W niektórych przypadkach wzór podaje dwie możliwe wartości dla uwzględnionego kąta. To się nazywa przypadek niejednoznaczny.

P: Jak to się ma do innych równań trygonometrycznych?

O: Prawo sinusów jest jednym z dwóch równań trygonometrycznych używanych do znajdowania długości i kątów w trójkątach skalennych. Drugim jest prawo cosinusów.

P: Jaka jest wartość D? A: D jest równe średnicy obwodu trójkąta.

Przeszukaj encyklopedię