Prawo sinusów (czasem nazywane zasadą sinusów) to jedno z podstawowych twierdzeń w matematyce. Stwierdza ono, że w dowolnym trójkącie relacja między długościami boków a sinusami przeciwległych kątów jest stała. Dla trójkąta o bokach a, b, c i kątach przy tych bokach odpowiednio A, B, C mamy:

a sin A = b sin B = c sin C = D = D {\i1}frac {a}sin A}, =, {\i1}frac {b}sin B}, =, {\i1}frac {c}sin C}, =, D! } {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!}

Równoważna postać często zapisywana jest jako:

 } {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!}

Stała D oznacza średnicę okręgu opisanego na trójkącie (czasami zapisuje się ją jako 2R, gdzie R to promień okręgu opisanego). Zatem częściej spotykany i użyteczny zapis to

  • a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R,
  • czyli równoważnie: a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C.

Dowód (krótki)

Najprostszy dowód używa własności okręgu opisanego lub wzoru na pole trójkąta. Jeśli R jest promieniem okręgu opisanego, to długość boku jako długość cięciwy odpowiadającej kątowi A wynosi a = 2R sin A (wynika to z geometrii cięciw i kąta półśrodkowego). Stąd a/sin A = 2R, analogicznie dla pozostałych boków, co daje prawo sinusów.

Inny sposób: pole trójkąta S można zapisać jako S = (1/2) b c sin A oraz jako S = abc/(4R). Zrównując, otrzymujemy a/sin A = 2R.

Zastosowania i przypadki użycia

Prawo sinusów jest szczególnie przydatne do wyznaczania brakujących boków lub kątów w trójkącie, gdy znane są:

  • dwa kąty i bok (przypadek ASA lub AAS) — wtedy wystarczy jedno zastosowanie prawa sinusów,
  • dwa boki i kąt, który nie leży między nimi (przypadek SSA) — w tym przypadku występuje tzw. przypadek niejednoznaczny (ambiguous case), który omówię niżej.

Przypadek niejednoznaczny (SSA)

Gdy znamy kąt A oraz boki a (przy kącie A) i b przy sąsiednim wierzchołku, rozwiązanie zależy od porównania a z wysokością h = b sin A:

  • Jeśli a < h — brak trójkąta (brak rozwiązania).
  • Jeśli a = h — jedno rozwiązanie (trójkąt prostokątny).
  • Jeśli h < a < b — istnieją dwa różne trójkąty (dwie możliwe wartości kąta przeciwległego, A i 180° − A),
  • Jeśli a ≥ b — jedno rozwiązanie.

Przy wyznaczaniu kąta metodą arcsin trzeba pamiętać, że sin θ = sin(180° − θ), stąd możliwa dwuznaczność. Dodatkowo należy sprawdzić, czy suma kątów w otrzymanym trójkącie nie przekracza 180°.

Problemy numeryczne i wskazówki

  • Funkcja arcsin daje kąt w przedziale [-90°, 90°]; przy obliczeniach geometrycznych trzeba rozważyć drugą możliwość 180°−θ, o ile ma sens geometryczny.
  • Unikaj dzielenia przez wartości sin A bliskie zeru (kąt bliski 0° lub 180°) — wtedy wynik może być niestabilny numerycznie. W takich sytuacjach korzystniej użyć prawa cosinusów lub metod iteracyjnych.
  • Przy obliczeniach komputerowych sprawdzaj zaokrąglenia i ewentualne przekroczenia zakresu funkcji trygonometrycznych.

Przykład zastosowania

Załóżmy, że w trójkącie znane są kąty A = 40°, B = 60° i bok c = 10 (przy kącie C = 80°). Chcemy obliczyć a i b. Korzystamy z prawa sinusów:

  • a / sin 40° = c / sin 80° ⇒ a = c (sin 40° / sin 80°) ≈ 10 · (0,643 / 0,985) ≈ 6,53,
  • b / sin 60° = c / sin 80° ⇒ b = c (sin 60° / sin 80°) ≈ 10 · (0,866 / 0,985) ≈ 8,79.

Zastosowania praktyczne

Prawo sinusów jest wykorzystywane w geodezji (triangulacja), nawigacji, inżynierii, astronomii i wszędzie tam, gdzie potrzebne jest wyznaczanie odległości lub kątów na podstawie pomiarów kątowych i długości odcinków.

Powiązane twierdzenia

Drugim podstawowym równaniem trygonometrii w zastosowaniach do rozwiązywania trójkątów jest prawo cosinusów, które pozwala znaleźć boki lub kąty, gdy znany jest kąt zawarty między dwoma bokami (przypadek SAS lub SSS).