Prawo sinusów — definicja, wzór i zastosowania
Prawo sinusów — definicja, wzór i zastosowania. Praktyczny przewodnik: obliczenia boków i kątów, triangulacja, przypadek niejednoznaczny oraz przykłady zastosowań.
Prawo sinusów (czasem nazywane zasadą sinusów) to jedno z podstawowych twierdzeń w matematyce. Stwierdza ono, że w dowolnym trójkącie relacja między długościami boków a sinusami przeciwległych kątów jest stała. Dla trójkąta o bokach a, b, c i kątach przy tych bokach odpowiednio A, B, C mamy:
a sin A = b sin B = c sin C = D = D {\i1}frac {a}sin A}, =, {\i1}frac {b}sin B}, =, {\i1}frac {c}sin C}, =, D! } 
Równoważna postać często zapisywana jest jako:
} 
Stała D oznacza średnicę okręgu opisanego na trójkącie (czasami zapisuje się ją jako 2R, gdzie R to promień okręgu opisanego). Zatem częściej spotykany i użyteczny zapis to
- a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R,
- czyli równoważnie: a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C.
Galeria obrazów
1 Obraz
Dowód (krótki)
Najprostszy dowód używa własności okręgu opisanego lub wzoru na pole trójkąta. Jeśli R jest promieniem okręgu opisanego, to długość boku jako długość cięciwy odpowiadającej kątowi A wynosi a = 2R sin A (wynika to z geometrii cięciw i kąta półśrodkowego). Stąd a/sin A = 2R, analogicznie dla pozostałych boków, co daje prawo sinusów.
Inny sposób: pole trójkąta S można zapisać jako S = (1/2) b c sin A oraz jako S = abc/(4R). Zrównując, otrzymujemy a/sin A = 2R.
Zastosowania i przypadki użycia
Prawo sinusów jest szczególnie przydatne do wyznaczania brakujących boków lub kątów w trójkącie, gdy znane są:
- dwa kąty i bok (przypadek ASA lub AAS) — wtedy wystarczy jedno zastosowanie prawa sinusów,
- dwa boki i kąt, który nie leży między nimi (przypadek SSA) — w tym przypadku występuje tzw. przypadek niejednoznaczny (ambiguous case), który omówię niżej.
Przypadek niejednoznaczny (SSA)
Gdy znamy kąt A oraz boki a (przy kącie A) i b przy sąsiednim wierzchołku, rozwiązanie zależy od porównania a z wysokością h = b sin A:
- Jeśli a < h — brak trójkąta (brak rozwiązania).
- Jeśli a = h — jedno rozwiązanie (trójkąt prostokątny).
- Jeśli h < a < b — istnieją dwa różne trójkąty (dwie możliwe wartości kąta przeciwległego, A i 180° − A),
- Jeśli a ≥ b — jedno rozwiązanie.
Przy wyznaczaniu kąta metodą arcsin trzeba pamiętać, że sin θ = sin(180° − θ), stąd możliwa dwuznaczność. Dodatkowo należy sprawdzić, czy suma kątów w otrzymanym trójkącie nie przekracza 180°.
Problemy numeryczne i wskazówki
- Funkcja arcsin daje kąt w przedziale [-90°, 90°]; przy obliczeniach geometrycznych trzeba rozważyć drugą możliwość 180°−θ, o ile ma sens geometryczny.
- Unikaj dzielenia przez wartości sin A bliskie zeru (kąt bliski 0° lub 180°) — wtedy wynik może być niestabilny numerycznie. W takich sytuacjach korzystniej użyć prawa cosinusów lub metod iteracyjnych.
- Przy obliczeniach komputerowych sprawdzaj zaokrąglenia i ewentualne przekroczenia zakresu funkcji trygonometrycznych.
Przykład zastosowania
Załóżmy, że w trójkącie znane są kąty A = 40°, B = 60° i bok c = 10 (przy kącie C = 80°). Chcemy obliczyć a i b. Korzystamy z prawa sinusów:
- a / sin 40° = c / sin 80° ⇒ a = c (sin 40° / sin 80°) ≈ 10 · (0,643 / 0,985) ≈ 6,53,
- b / sin 60° = c / sin 80° ⇒ b = c (sin 60° / sin 80°) ≈ 10 · (0,866 / 0,985) ≈ 8,79.
Zastosowania praktyczne
Prawo sinusów jest wykorzystywane w geodezji (triangulacja), nawigacji, inżynierii, astronomii i wszędzie tam, gdzie potrzebne jest wyznaczanie odległości lub kątów na podstawie pomiarów kątowych i długości odcinków.
Powiązane twierdzenia
Drugim podstawowym równaniem trygonometrii w zastosowaniach do rozwiązywania trójkątów jest prawo cosinusów, które pozwala znaleźć boki lub kąty, gdy znany jest kąt zawarty między dwoma bokami (przypadek SAS lub SSS).
Dowód:
Obszar T
dowolnego trójkąta może być zapisany jako połowa jego wysokości (rysowana z wierzchołka nie na podstawie). W zależności od tego, który bok zostanie wybrany jako podstawa, obszar ten może być podany przez
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 a ( b sin C ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . } 
Mnożąc je przez 2 / a b c {\i1}styropian 2/abc}
daje
2 T a b c = grzech A a = grzech B b = grzech C c . } 
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest niebieskie prawo?
O: Prawo sinusa, znane również jako prawo sinusów, to twierdzenie matematyczne, które mówi, że jeśli ma Pan trójkąt taki jak na zdjęciu, to równanie jest prawdziwe.
P: Co mówi to równanie?
O: To równanie mówi, że stosunek długości każdego boku do sinusa jego przeciwległego kąta jest równy.
P: Jak się go używa?
O: Prawo sinusów można wykorzystać do znalezienia pozostałych boków trójkąta, gdy zna się dwa kąty i jeden bok. Można go również stosować, gdy zna się dwa boki i jeden kąt, którego te dwa boki nie zamykają.
P: Co się dzieje w przypadku niejednoznacznym?
O: W niektórych przypadkach wzór podaje dwie możliwe wartości dla uwzględnionego kąta. To się nazywa przypadek niejednoznaczny.
P: Jak to się ma do innych równań trygonometrycznych?
O: Prawo sinusów jest jednym z dwóch równań trygonometrycznych używanych do znajdowania długości i kątów w trójkątach skalennych. Drugim jest prawo cosinusów.
P: Jaka jest wartość D? A: D jest równe średnicy obwodu trójkąta.
Powiązane artykuły
Autor
AlegsaOnline.com Prawo sinusów — definicja, wzór i zastosowania Leandro Alegsa
URL: https://pl.alegsaonline.com/art/56404
Źródła
- mathworld.wolfram.com : "Law of Sines"