Prawo wielkich liczb
Prawo wielkich liczb (LLN) jest twierdzeniem ze statystyk. Rozważmy pewien proces, w którym występują przypadkowe wyniki. Na przykład, zmienna losowa jest wielokrotnie obserwowana. Wtedy średnia z obserwowanych wartości będzie stabilna, w dłuższej perspektywie czasowej. Oznacza to, że w dłuższej perspektywie czasowej, średnia z obserwowanych wartości będzie coraz bliższa wartości oczekiwanej.
Podczas toczenia kostek możliwe są wyniki z liczb 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Wszystkie one są równie prawdopodobne. Populacja jest średnią (lub "oczekiwaną wartością") wyników:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
Poniższy wykres przedstawia wyniki eksperymentu z rolkami matrycy. W eksperymencie tym można zauważyć, że średnia zwojów matryc na początku jest bardzo zróżnicowana. Zgodnie z przewidywaniami LLN, średnia stabilizuje się wokół oczekiwanej wartości 3,5 w miarę zwiększania się liczby obserwacji.
Historia
Jacob Bernoulli pierwszy opisał LLN. Mówi, że było to tak proste, że nawet najgłupszy człowiek instynktownie wie, że to prawda. Mimo to, opracowanie dobrego dowodu matematycznego zajęło mu ponad 20 lat. Gdy go znalazł, opublikował dowód w Ars Conjectandi (The Art of Conjectandi) w 1713 roku. Nazwał to swoim "Złotym Twierdzeniem". Stało się ono powszechnie znane jako "twierdzenie Bernoulliego" (nie mylić z prawem fizyki o tej samej nazwie). W 1835 roku S.D. Poisson opisał je dalej pod nazwą "La loi des grands nombres" (Prawo wielkich liczb). Następnie była ona znana pod obiema nazwami, ale najczęściej używane jest "Prawo wielkich liczb".
Inni matematycy również przyczynili się do tego, że prawo stało się lepsze. Niektórzy z nich to Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli i Kołmogorow. Po tych badaniach istnieją obecnie dwie różne formy prawa: Jedna nazywana jest "słabym" prawem, a druga "silnym" prawem. Te formy nie opisują różnych praw. Mają one różne sposoby opisywania zbieżności obserwowanego lub mierzonego prawdopodobieństwa z rzeczywistym prawdopodobieństwem. Silna forma prawa oznacza słabe prawo.
Pytania i odpowiedzi
P: Czym jest prawo wielkich liczb?
O: Prawo wielkich liczb to twierdzenie statystyczne, które mówi, że jeśli losowy proces jest wielokrotnie obserwowany, to średnia obserwowanych wartości będzie stabilna w długim okresie.
P: Co oznacza prawo wielkich liczb?
O: Prawo wielkich liczb oznacza, że wraz ze wzrostem liczby obserwacji średnia obserwowanych wartości będzie coraz bliższa wartości oczekiwanej.
P: Co to jest wartość oczekiwana?
O: Wartość oczekiwana to średnia populacyjna wyników procesu losowego.
P: Jaka jest wartość oczekiwana rzutu kostką?
O: Wartość oczekiwana rzutu kością to suma możliwych wyników podzielona przez liczbę wyników: (1+2+3+4+5+6)/6=3.5.
P: Co pokazuje wykres w tekście w odniesieniu do prawa wielkich liczb?
O: Wykres pokazuje, że średnia z rzutów kośćmi początkowo zmienia się gwałtownie, ale zgodnie z przewidywaniami LLN, średnia stabilizuje się wokół oczekiwanej wartości 3,5, gdy liczba obserwacji staje się duża.
P: W jaki sposób prawo wielkich liczb ma zastosowanie do rzucania kośćmi?
O: Prawo wielkich liczb ma zastosowanie do rzucania kostką, ponieważ wraz ze wzrostem liczby rzutów, średnia rzutów będzie coraz bliższa wartości oczekiwanej 3,5.
P: Dlaczego prawo wielkich liczb jest ważne w statystyce?
O: Prawo wielkich liczb jest ważne w statystyce, ponieważ zapewnia teoretyczną podstawę dla idei, że dane mają tendencję do uśredniania się w przypadku dużej liczby obserwacji. Jest ono podstawą wielu metod statystycznych, takich jak przedziały ufności i testowanie hipotez.
