W fizyce prawo odwrotności kwadratu opisuje zależność, zgodnie z którą natężenie efektu (np. siły, strumienia energii, natężenia pola) od punktowego źródła maleje proporcjonalnie do kwadratu odległości od tego źródła. Innymi słowy, jeśli odległość od źródła wzrośnie dwukrotnie, obserwowana wielkość spadnie czterokrotnie.

Definicja i wzór

Matematycznie prawo odwrotności kwadratu zapisuje się zazwyczaj jako:

I(r) = k / r²

gdzie:

  • I(r) — obserwowana wielkość zależna od odległości (np. natężenie światła, siła grawitacji, natężenie pola elektrostatycznego),
  • k — stała zależna od własności źródła (np. całkowita moc promieniowania, iloczyn mas lub ładunków),
  • r — odległość od punktowego źródła.

Dla promieniowania energetycznego punktowego źródła o mocy P wzór przybiera formę:

E(r) = P / (4π r²),

gdzie E(r) to natężenie (moc na jednostkę powierzchni) padające na powierzchnię sferyczną o promieniu r (pole tej sfery = 4πr²).

Przykłady zastosowań

Prawo odwrotności kwadratu występuje w wielu dziedzinach, między innymi:

Krótko o każdym z przykładów:

  • Grawitacja: W prawie powszechnego ciążenia Newtona siła grawitacji między dwiema masami jest proporcjonalna do 1/r²: F = G m1 m2 / r² (G — stała grawitacyjna).
  • Elektrostatyka: W prawie Coulomba siła między dwoma punktowymi ładunkami q1 i q2 wynosi F = k_e q1 q2 / r² (k_e — stała Coulomba).
  • Światło i promieniowanie elektromagnetyczne: Dla punktowego, izotropowego źródła światła natężenie oświetlenia (lub gęstość strumienia) zmniejsza się jak 1/r², co wynika ze zwiększania się powierzchni sfery, na którą rozkłada się energia.
  • Akustyka: W wolnej przestrzeni i dla punktowego źródła dźwięku natężenie akustyczne maleje zgodnie z prawem odwrotności kwadratu (w praktyce wpływ mają też odbicia, absorpcja i rozpraszanie).

Założenia i ograniczenia

  • Prawo obowiązuje idealnie dla punktowego, izotropowego źródła w trójwymiarowej przestrzeni, bez absorpcji i rozpraszania środowiska.
  • Dla źródeł rozciągłych, w bliskiej strefie przy źródle (tzw. strefa bliska) lub przy silnych interferencjach i dyfrakcji prawo może nie opisywać dokładnie rozkładu wielkości.
  • W ośrodkach tłumiących (np. atmosfera, materia) oprócz geometrycznego rozproszenia dodaje się wygaszanie spowodowane absorpcją — wtedy spadek intensywności jest szybszy niż 1/r².
  • W przestrzeni o innej niż trójwymiarowej liczbie wymiarów skuteczny spadek zależy od geometrii (np. w przybliżeniu dwuwymiarowym wielkość może maleć jak 1/r).

Krótka historia

Obserwacje ruchu planet sformułowane przez Johannes Kepler (zasady Keplera) doprowadziły do zrozumienia, że orbity planet są zgodne z określonymi prawami, lecz to Isaac Newton wyprowadził i sformułował prawo powszechnego ciążenia o zależności 1/r². Prawo Coulomba (elektrostatyka) zostało ustalone niezależnie w XVIII wieku. W artykule pierwotnie pojawiły się niepoprawne informacje — np. przypisywanie Keplerowi odkrycia prawa 1/r² i ciąg losowych cyfr — co zostało tu sprostowane.

Przykład obliczeniowy

Załóżmy punktowe, izotropowe źródło promieniujące moc P = 1000 W. Natężenie w odległości r obliczamy ze wzoru E(r) = P / (4π r²).

  • Dla r = 1 m: E(1) = 1000 / (4π·1²) ≈ 79,6 W/m².
  • Dla r = 2 m: E(2) = 1000 / (4π·2²) = 1000 / (16π) ≈ 19,9 W/m² (czyli dokładnie 1/4 wartości przy 1 m).

W praktyce — prosta reguła

Najłatwiejszym sposobem zapamiętania jest reguła: podwojenie odległości → zmniejszenie intensywności czterokrotnie. Prawo odwrotności kwadratu jest jednym z najważniejszych prostych praw opisujących, jak właściwości fizyczne rozkładają się w przestrzeni wokół źródeł.