Podstawowe twierdzenie arytmetyki

Dowód

Pierwszą osobą, która udowodniła to twierdzenie był Euklides. Pierwszy szczegółowy i poprawny dowód znalazł się w Disquisitiones Arithmeticae Carla Friedricha Gaußa.

Niektórzy ludzie mogą myśleć, że to twierdzenie jest prawdziwe wszędzie. Jednakże, twierdzenie to nie jest prawdziwe w bardziej ogólnych systemach liczbowych, takich jak algebraiczne liczby całkowite. Po raz pierwszy wspomniał o tym Ernst Kummer w 1843 roku, w swojej pracy na temat ostatniego twierdzenia Fermata. Więcej informacji na ten temat: przeczytaj algebraiczną teorię liczb.

Dowód składa się z dwóch części: po pierwsze pokazujemy, że każdą liczbę można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych; po drugie pokazujemy, że jeśli po raz drugi zapiszemy daną liczbę jako iloczyn liczb pierwszych, to obie listy liczb pierwszych muszą być takie same.

Pierwsza część dowodu

Pokazujemy, że jeśli nie każda liczba większa od 1 może być zapisana jako iloczyn liczb pierwszych, to kończymy w jakimś rodzaju niemożliwości. Stąd wniosek, że musi być prawdą, że każda liczba może być zapisana jako iloczyn liczb pierwszych.

Zobaczmy teraz, co się stanie, gdy ktoś powie, że zna liczbę całkowitą dodatnią większą od 1, której nie można zapisać jako iloczynu liczb pierwszych. W takim przypadku prosimy go, by wymienił wszystkie liczby większe od 1, których nie da się zapisać jako iloczynu liczb pierwszych. Jedna z tych liczb musi być najmniejsza: nazwijmy ją n. Oczywiście ta liczba n nie może być 1. Ponadto, nie może być liczbą pierwszą, ponieważ liczba pierwsza jest "produktem" jednej liczby pierwszej: samej siebie. Zatem musi to być iloczyn liczb. Tak więc -

n = ab

gdzie zarówno a jak i b są dodatnimi liczbami całkowitymi, które są oczywiście mniejsze od n. Ale: n było najmniejszą liczbą, która nie może być zapisana jako iloczyn liczb pierwszych. Zatem musi być możliwe zapisanie a i b jako iloczynów liczb pierwszych, ponieważ obie są mniejsze od n. Ale wtedy iloczyn

n = ab

może być również zapisane jako iloczyn liczb pierwszych. Jest to niemożliwe, ponieważ powiedzieliśmy, że n nie może być zapisane jako iloczyn liczb pierwszych.

Pokazaliśmy teraz niemożliwość, która istnieje, jeśli pierwsza część twierdzenia nie byłaby prawdziwa. W ten sposób udowodniliśmy pierwszą część twierdzenia.

Druga część dowodu

Teraz musimy udowodnić, że istnieje tylko jeden sposób, aby zapisać liczbę dodatnią większą od 1 jako iloczyn liczb pierwszych.

W tym celu posłużymy się następującym lematem: jeśli liczba pierwsza p dzieli iloczyn ab, to dzieli a lub dzieli b (lemat Euklidesa). Najpierw udowodnimy ten lemat. Załóżmy, że p nie dzieli a. Wtedy p i a są współwystępujące i mamy tożsamość Bezouta, która mówi, że muszą istnieć liczby całkowite x i y takie, że

px + ay = 1.

Mnożąc wszystko przez b otrzymujemy

pbx + aby = b,

Pamiętajmy, że ab może być podzielne przez p. Zatem teraz po lewej stronie mamy dwa wyrazy, które są podzielne przez p. Zatem wyraz po prawej stronie jest również podzielny przez p. Udowodniliśmy, że jeśli p nie dzieli a, to musi dzielić b. To dowodzi lematu.

Teraz udowodnimy, że liczbę całkowitą większą od 1 możemy zapisać tylko w jeden sposób jako iloczyn liczb pierwszych. Weźmy dwa iloczyny liczb pierwszych A i B, które mają ten sam wynik. Wiemy więc, że A = B. Weźmy dowolną liczbę pierwszą p z pierwszego iloczynu A. Dzieli ona A, więc dzieli też B. Korzystając kilkakrotnie z lematu, który właśnie udowodniliśmy, widzimy, że p musi wtedy dzielić co najmniej jeden czynnik b z B. Ale wszystkie te czynniki są same w sobie liczbami pierwszymi, więc również b jest pierwsze. Wiemy, że p jest również pierwsze, więc p musi być równe b. Teraz więc dzielimy A przez p i dzielimy B przez p. Otrzymujemy wynik taki jak A* = B*. Ponownie możemy wziąć liczbę pierwszą p z pierwszego produktu A* i dowiedzieć się, że jest ona równa pewnej liczbie w produkcie B*. Kontynuując w ten sposób, na końcu widzimy, że czynniki pierwsze obu iloczynów muszą być dokładnie takie same. To dowodzi, że liczbę całkowitą dodatnią możemy zapisać jako iloczyn liczb pierwszych tylko w jeden jedyny sposób.