Centralne twierdzenie graniczne

Autor: Leandro Alegsa

03-04-2021

Centralne twierdzenia graniczne są twierdzeniami z zakresu teorii prawdopodobieństwa. Twierdzą one, że przy dużej liczbie niezależnych zmiennych losowych ich suma będzie miała stabilny rozkład. Jeśli wariancja zmiennych losowych jest skończona, otrzymamy rozkład gaussowski. Jest to jeden z powodów, dla których rozkład ten znany jest również jako rozkład normalny.

Najbardziej znana i najważniejsza z nich znana jest jako centralne twierdzenie graniczne. Dotyczy ono dużej liczby zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, o skończonej wariancji i wartości oczekiwanej.

Istnieją różne uogólnienia tego twierdzenia. Niektóre z tych uogólnień nie wymagają już identycznego rozkładu wszystkich zmiennych losowych. W tych uogólnieniach inny warunek wstępny zapewnia, że żadna pojedyncza zmienna losowa nie ma większego wpływu na wynik niż pozostałe. Przykładem mogą być warunki Lindeberga i Lyapunova.

Nazwa twierdzenia pochodzi od pracy George'a Pólyi z 1920 roku, O centralnym twierdzeniu granicznym w teorii prawdopodobieństwa i problemie momentu.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest centralne twierdzenie graniczne?

A: Centralne twierdzenie graniczne (CLT) to twierdzenie o ograniczeniu zachowań zagregowanych rozkładów prawdopodobieństwa. Mówi ono, że przy dużej liczbie niezależnych zmiennych losowych ich suma będzie miała stabilny rozkład. Jeżeli wariancja zmiennych losowych jest skończona, to otrzymamy rozkład gaussowski.

P: Kto napisał pracę, na której opiera się to twierdzenie?

O: George Pَlya napisał w 1920 roku pracę "About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment Problem", która stała się podstawą tego twierdzenia.

P: Jaki rodzaj rozkładu powstaje, gdy wszystkie zmienne losowe mają skończoną wariancję?

O: Jeżeli wszystkie zmienne losowe mają skończoną wariancję, to po zastosowaniu CLT otrzymamy rozkład gaussowski lub normalny.

P: Czy istnieją jakieś uogólnienia CLT?

O: Tak, istnieją różne uogólnienia CLT, które nie wymagają już identycznego rozkładu wszystkich zmiennych losowych. Uogólnienia te obejmują warunki Lindeberga i Lyapunova, które zapewniają, że żadna zmienna losowa nie ma większego wpływu na wynik niż inne.

P: Jak działają te uogólnienia?

O: Te uogólnienia zapewniają, że żadna zmienna losowa nie ma większego wpływu na wynik niż inne, wprowadzając dodatkowe warunki wstępne, takie jak warunki Lindeberga i Lyapunova.

P: Co CLT mówi o średniej z próby i sumie dużej liczby niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie?

O: Zgodnie z CLT, jeżeli n identycznych i niezależnie rozłożonych zmiennych losowych o średniej ى i odchyleniu standardowym َ {sigma }, to ich średnia próbna (X1) jest taka sama jak średnia (X2). to ich średnia z próby (X1+...+Xn)/n będzie w przybliżeniu normalna ze średnią ى i odchyleniem standardowym َ/√n {displaystyle {tfrac {sigma } {sqrt {n}}}} . Ponadto ich suma X1+...+Xn będzie również w przybliżeniu normalna ze średnią nى i odchyleniem standardowym √nَ {displaystyle {sqrt {n}}igma } . .