Współczynnik Lorentza (γ) — definicja, wzór i znaczenie w teorii względności
Współczynnik Lorentza (γ): definicja, wzór i znaczenie w teorii względności. Jak γ wpływa na czas, długość i masę przy prędkościach relatywistycznych — wzory i przykłady obliczeń.
Współczynnik Lorentza to czynnik skalar, który określa, o ile zmieniają się mierzone wartości czasu, długości i energii (dawniej także „masa”) obiektu poruszającego się z prędkością zbliżoną do prędkości światła. Współczynnik ten występuje w transformacjach Lorentza i jest podstawowym elementem szczególnej teorii względności. Zmiany te wpływają m.in. na zjawiska dylatacji czasu i skrócenia długości oraz na zależności między energią a pędem cząstek (masa odniesiona poniżej do masy spoczynkowej).
Równanie jest:
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}} 
W powyższym wzorze v oznacza prędkość obiektu, a c — prędkość światła w próżni. Często wprowadza się bezwymiarową wielkość β, zdefiniowaną jako iloraz prędkości przez prędkość światła (v/c). Zapis ten ułatwia zapamiętanie i zapis zależności:
β = v/c 
Stąd alternatywna postać współczynnika:
γ = 1 / sqrt(1 − β²)
Własności i granice
- γ ≥ 1 dla wszystkich rzeczywistych v. Przy v = 0 mamy γ = 1 (brak efektów relatywistycznych).
- Gdy v rośnie w kierunku c, mianownik sqrt(1 − v²/c²) dąży do zera, więc γ → ∞ przy v → c (stąd potrzeba nieskończonej energii, aby przyspieszyć masywny obiekt do prędkości światła).
- Dla małych prędkości (v << c) można użyć rozwinięcia w szereg: γ ≈ 1 + 1/2 (v²/c²) + 3/8 (v^4/c^4) + …, dlatego efekty relatywistyczne są zaniedbywalne w życiu codziennym.
Przykłady liczbowe
- v = 0,6 c ⇒ γ ≈ 1,25
- v = 0,8 c ⇒ γ ≈ 1,667
- v = 0,99 c ⇒ γ ≈ 7,09
Znaczenie w fizyce
- Dylatacja czasu: czas trwania zdarzenia mierzony w układzie, w którym obiekt się porusza, ulega wydłużeniu względem czasu własnego: Δt = γ Δt0. To tłumaczy m.in. dłuższe przeżycie szybko poruszających się cząstek niestabilnych.
- Skrócenie długości: długość obiektu w kierunku ruchu zmniejsza się: L = L0 / γ.
- Energia i pęd relatywistyczny: energia kinetyczna i pęd zależą od γ: E = γ m c² (gdzie m to masa spoczynkowa), p = γ m v. Z tych zależności wynika znane równanie E² = (pc)² + (mc²)².
- Transformacje Lorentza: współczynnik γ pojawia się w macierzach transformacji Lorentza, określających zależność współrzędnych czasoprzestrzennych między układami poruszającymi się względem siebie.
- Zastosowania praktyczne: poprawki relatywistyczne są konieczne w systemie GPS, w akceleratorach cząstek, przy opisie promieniowania kosmicznego i w eksperymentach fizyki cząstek elementarnych.
Uwagi terminologiczne i pochodzenie
Pojęcie „masa relatywistyczna” (masa zależna od prędkości = γ m) bywa spotykane w literaturze popularnej, jednak we współczesnej fizyce częściej używa się pojęcia masy spoczynkowej (inwariantnej) m i wprowadza γ w zależnościach energii i pędu. Współczynnik γ wyprowadza się bezpośrednio z warunku zachowania niezmienniczości elementu czasoprzestrzennego (inwariantu Lorentza) c²Δt² − Δx² oraz z założeń transformacji liniowych między inercjalnymi układami odniesienia.
Podsumowując, współczynnik Lorentza γ jest kluczowym parametrem opisującym, jak prędkość bliska prędkości światła modyfikuje pomiary czasu, odległości i wielkości dynamicznych w szczególnej teorii względności.
Klasyczna względność
Klasyczna względność polega na tym, że jeśli rzucisz piłkę z prędkością 50 mph podczas biegu z prędkością 5 mph, piłka porusza się z prędkością 55 mph. Oczywiście, piłka nadal oddala się od Ciebie przy 50 mph, więc jeśli ktoś zapyta, widziałeś piłkę jadącą z prędkością 50 mph. Tymczasem Twój przyjaciel Rory widział, że zdarzyło Ci się biegać z prędkością 5 mph. Powiedziałby, że piłka jechała z prędkością 55 mph. Oboje macie rację, po prostu zdarzyło się, że poruszaliście się z piłką.
Prędkość światła, c, wynosi 670,616,629 mph. Więc jeśli jesteś w samochodzie jadącym z połową prędkości światła (0,5c) i włączysz reflektory, światło oddala się od ciebie o 1 c... czy jest to 1,5 c? Kończy się to tym, że c jest c bez względu na wszystko. Następny rozdział wyjaśnia dlaczego nie jest to c - 0.5c.
Dylatacja czasu
Kiedy zegar jest w ruchu, tyka wolniej o maleńki współczynnik γ {\i1}...{\i0} 
. Słynny paradoks bliźniaczy mówi, że gdyby na ziemi pozostały dwa bliźniaki i bliźniak A, podczas gdy bliźniak B podróżował w pobliżu c przez kilka lat, kiedy bliźniak B wrócił na ziemię, byłby o wiele młodszy od bliźniaka A (ponieważ miał mniej czasu). Dla przykładu, gdyby bliźniak B wyjechał w wieku 20 lat i podróżował w temperaturze .9c przez 10 lat, wtedy kiedy wróciłby na Ziemię, bliźniak B miałby 30 lat (20 lat + 10 lat), a bliźniak A miałby prawie 43 lata:
20 + ( 10 ∗ 1 1 - . 9 2 ) = 42.9416 {\i0}(10*{\i1}{\i1}frac {\i1}{\i1}sqrt {1-.9^{\i0} =42.9416} 
Bliźniak B nie zauważyłby, że czas w ogóle zwolnił. Dla niego, gdyby spojrzał przez okno, wydawałoby się, że wszechświat przesuwa się obok niego, a więc wolniej (pamiętaj, dla niego, jest w spoczynku). Czas jest więc względny.
Skurcz długości
Sprawy skracają się w kierunku ruchu, gdy podróżują z relatywistyczną prędkością. Podczas podróży bliźniaka B zauważyłby coś dziwnego we wszechświecie. Zauważyłby, że staje się on krótszy (skurczył się w kierunku swojego ruchu). A czynnikiem, przez który rzeczy stają się krótsze, jest γ {\i1} {\i1}gamma {\i1} .
Masa relatywistyczna
Relatywna masa również wzrasta. To sprawia, że trudniej je popychać. Tak więc zanim osiągniesz 0,9999c, potrzebujesz bardzo dużej siły, aby jechać szybciej. To sprawia, że nic nie jest w stanie osiągnąć prędkości światła.
Mimo to, jeśli podróżujesz nieco wolniej, powiedzmy 90% prędkości światła, twoja masa rośnie tylko 2,3 razy. Tak więc, chociaż osiągnięcie prędkości światła może być niemożliwe, to jednak może być możliwe zbliżenie się do niej - to znaczy, jeśli masz wystarczająco dużo paliwa.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest współczynnik Lorentza?
O: Współczynnik Lorentza to współczynnik, dzięki któremu czas, długość i masa zmieniają się przy prędkości relatywistycznej (bliskiej prędkości światła) dla poruszającego się obiektu.
P: Od kogo pochodzi jego nazwa?
O: Nazwa czynnika Lorentza pochodzi od nazwiska holenderskiego fizyka Hendrika Lorentza.
Q: Które równanie opisuje współczynnik Lorentza?
O: Równanie na współczynnik Lorentza to gamma = 1/(sqrt(1-(v/c)^2)), gdzie v to prędkość obiektu, a c to prędkość światła.
P: Co oznacza (v/c) w tym równaniu?
O: W tym równaniu (v/c) oznacza beta, czyli stosunek między prędkością obiektu a prędkością światła.
P: Jak można przekształcić to równanie?
O: Możemy to równanie zapisać jako gamma = 1/(sqrt(1-beta^2)).
Przeszukaj encyklopedię