Liczba Archimedesa (Ar) — definicja, wzór i zastosowania w dynamice płynów

Liczba Archimedesa (Ar) — definicja, wzór i zastosowania w dynamice płynów: praktyczny przewodnik pokazujący wpływ grawitacji i lepkości na przepływy i mieszanie.

Liczba Archimedesa (Ar) jest nazwana na cześć greckiego Archimedesa.

W dynamice płynów lepkich liczbę Archimedesa (Ar) stosuje się, gdy na ruch płynów wpływają różnice gęstości. Jest to liczba bezwymiarowa, wyrażająca względną wielkość sił grawitacyjnych (sił wyporu/buoyancy) względem sił lepkości (sił oporu). Dzięki temu Ar pomaga przewidywać, czy w danym układzie dominować będą efekty pędu/buoyancy czy lepkości.

Związek ma postać (wersja zapisana graficznie pozostawiona poniżej):

A r = g L 3 ρ ℓ ( ρ - ρ ℓ ) μ 2 {\i1} {\i1}displaystyle \i0}mathrm {Ar} = {\i1}frac {\i1}rho _{\i1}ell {\i0}(\i1}rho -rho _{\i0}){\i1}mu ^{\i1}COPY0

Gdzie:

• g — przyspieszenie grawitacyjne [m/s²],
• L — długość charakterystyczna [m], często przyjmuje się średnicę cząstki (d) lub wymiar geometryczny obiektu,
• ρ_ℓ — gęstość cieczy / płynu (fluid density) [kg/m³],
• ρ — gęstość rozpatrywanego ciała (np. cząstki, pęcherzyka) [kg/m³],
• μ — lepkość dynamiczna płynu (dynamic viscosity) [Pa·s = N·s/m²].

Znaczenie fizyczne i zachowanie przepływu

• Ar jest miarą stosunku sił pędu/buoyancy (wynikających z różnicy gęstości) do sił lepkości. Im większe Ar, tym większe znaczenie efektów bezwładności i wyporu względem oporów lepko‑ściennych.
• Regimy przepływu:
  • Ar ≪ 1 — przepływ zdominowany przez lepkość (reżim Stokesa / powolne opadanie, liniowe zależności),
  • Ar ≫ 1 — przepływ zdominowany przez siły bezwładności i wyporu (nieregularne trajektorie, tworzenie wirów, turbulentne efekty lokalne w zależności od rozmiaru i prędkości).
• Archimedes number jest często używany do ustalania, jaki będzie charakter opadania cząstek, unoszenia pęcherzyków lub zachowania się ziaren w łożach fluidalnych.

Zastosowania praktyczne

• Wyznaczanie reżimów ruchu cząstek w zawiesinach i łożach fluidalnych (fluidized beds).
• Analiza prędkości końcowej opadania (terminal velocity) cząstek oraz ruchu pęcherzyków i kropli.
• Projektowanie i analiza separatorów hydrocyklonowych, osadników i filtrów.
• Badania mieszania i unoszenia osadów w systemach hydrodynamicznych.

Przykładowe użycie i powiązania z innymi liczbami bezwymiarowymi

• W praktyce stosuje się korelacje empiryczne łączące Archimedes number z liczbą Re (Reynoldsa) — tzn. wykresy Re(Ar) pozwalają wyznaczyć prędkość końcową z cząstki na podstawie Ar.
• W reżimie bardzo małych liczby Reynoldsa (Stokes) prędkość końcowa obiektu można obliczyć bezpośrednio ze wzoru Stokesa:
  u_t = ( (ρ - ρ_ℓ) g d^2 ) / (18 μ), gdzie d to średnica cząstki. Ten wzór nie używa bezpośrednio Ar, ale daje krajowy przykład zależności między siłami grawitacji a lepkością.
• Istnieją pokrewne liczby bezwymiarowe, np. Galilei (Ga) i Grashof (Gr). Różnice między nimi wynikają z wyboru lepkości (dynamicznej μ vs kinematycznej ν = μ/ρ) oraz definicji gęstości użytej we wzorze; dlatego w literaturze spotyka się różne warianty zapisu i przeliczników.

Przykład obliczenia

Załóżmy cząstkę o średnicy d = 1·10⁻³ m (1 mm), gęstości cząstki ρ = 2500 kg/m³, cieczy (woda) ρ_ℓ = 1000 kg/m³ oraz lepkości dynamicznej μ = 1·10⁻3 Pa·s. Wtedy:

• d³ = 1·10⁻9 m³, Δρ = ρ − ρ_ℓ = 1500 kg/m³, ρ_ℓ·Δρ = 1000·1500 = 1.5·10⁶ kg²/m⁶.
• Ar ≈ g·d³·ρ_ℓ·(ρ−ρ_ℓ) / μ² ≈ 9.81·1·10⁻9·1.5·10⁶ / (1·10⁻6) ≈ 1.47·10⁴.

Wartość Ar ≈ 1.5·10⁴ wskazuje, że w tym przypadku efekty bezwładności/buoyancy mają istotne znaczenie i opadanie może wejść poza prosty reżim Stokesa (należałoby użyć odpowiedniej korelacji Re(Ar), aby oszacować prędkość końcową dokładniej).

Uwagi i warianty definicyjne

• W literaturze spotyka się różne zapisy i nazwy (niekiedy używany jest Ga — liczba Galileusza — oraz różne kombinacje ρ, ρ_f, μ i ν). Zawsze warto sprawdzić, jak autorzy definiują daną liczbę bezwymiarową przed użyciem korelacji.
• Wybór długości charakterystycznej L zależy od problemu: dla cząstek zazwyczaj jest to średnica; dla struktur geometrycznych — ich typowy wymiar.
• Ar nie ma jednostek — jest liczbą bezwymiarową, co umożliwia porównania między różnymi układami fizycznymi.

Podsumowując: liczba Archimedesa jest użytecznym narzędziem w analizie zjawisk, w których różnice gęstości (np. między cząstkami a otaczającym płynem) konkurują z siłami lepkości; pomaga wybrać odpowiednie modele i korelacje do przewidywania prędkości oraz reżimu ruchu.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest liczba Archimedesa?

P: Kim był Archimedes?

P: Co oznacza liczba Ar?

P: Jaki jest związek między Ar a innymi zmiennymi?

P: Jak można wykorzystać Ar?

P: Czy można obliczyć Ar?

Szukaj według litery