Przedział (matematyka): definicja, rodzaje i notacja

Przedziały (matematyka): jasna definicja, rodzaje (domknięte, otwarte, półotwarte) i praktyczna notacja. Przykłady i krótkie wyjaśnienia dla uczniów.

W matematyce, przedział najczęściej rozumiany jest jako podzbiór liczb rzeczywistych zawierający wszystkie liczby pomiędzy dwiema ustalonymi wartościami (końcami przedziału). Jeżeli przedział ma początek a i koniec b (a ≤ b), to każda liczba większa niż a i mniejsza niż b leży wewnątrz przedziału; liczby mniejsze od a lub większe od b do niego nie należą. Liczba początkowa i końcowa mogą, ale nie muszą należeć do przedziału – to rozróżnia różne rodzaje przedziałów. Przykładem przedziału jest od 3.3 do 15: liczby takie jak 4, 8, 9.5, 14, a nawet 14.999 należą do tego przedziału, natomiast -4, 2, 3.2, 20 czy 15.000001 już nie należą.

Rodzaje przedziałów i ich notacja

Przedziały zwykle zapisuje się, umieszczając po lewej stronie symbol początku (nawias kwadratowy [ oznacza włączenie końca, nawias okrągły ( oznacza wyłączenie końca), następnie liczbę początkową, przecinek, liczbę końcową i na końcu symbol kończący (] lub )). Przykłady:

• Przedział otwarty (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} — oba końce są wyłączone. Przykład: (4, 9.6).
• Przedział domknięty [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} — oba końce są włączone. Przykład: [-100, 100].
• Przedział półotwarty (półdomknięty) [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} lub (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} — jeden koniec jest włączony, drugi wyłączony. Przykład: [-30, -4).
• Przedział jednoelementowy (degenerowany) [a, a] = {a} — zawiera dokładnie jedną liczbę.
• Pusty zbiór ∅ — gdy w zapisie [a, b] ma się a > b, nie istnieją liczby spełniające warunek; można wtedy uznać zapis za pusty przedział.

Przedziały nieskończone

Gdy jeden z końców jest nieskończony, używa się symboli ±∞. Ponieważ ±∞ nie są liczbami rzeczywistymi, zawsze zapisuje się je z nawiasem okrągłym:

• (a, ∞) = {x ∈ R : x > a}
• [a, ∞) = {x ∈ R : x ≥ a}
• ((-∞, b) = {x ∈ R : x < b}
• ((-∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}

Przedziały nieskończone służą m.in. do określania dziedzin funkcji i zakresów wartości.

Równoważne zapisy i własności

• Warunek zapisany nierównością odpowiada zapisowi przedziałowemu:
  • a < x < b jest równoważne z x ∈ (a, b),
  • a ≤ x ≤ b jest równoważne z x ∈ [a, b],
  • a ≤ x < b jest równoważne z x ∈ [a, b).
• Długość (miara) przedziału ograniczonego [a, b] wynosi b − a. Dla przedziałów nieskończonych długość jest nieskończona.
• Jeśli a > b, to zbiór {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} jest pusty. Czasami zapisy z a > b uważa się po prostu za ∅.
• Przedziały są spójnymi podzbiorami prostej rzeczywistej — między dowolnymi dwoma punktami należącymi do przedziału wszystkie punkty pośrednie też należą do tego przedziału.

Przykłady użycia i interpretacja graficzna

Przedziały często rysuje się na osi liczbowej: segment z kropką wypełnioną oznacza włączenie końca (nawias kwadratowy), pusta kropka oznacza wyłączenie końca (nawias okrągły). Zastosowania przedziałów to m.in. określanie dziedzin i zbiorów wartości funkcji, rozwiązywanie nierówności czy opisywanie długości odcinków na prostej.

Aby zapisać przedział w notacji symbolicznej: używamy nawiasu kwadratowego [ lub nawiasu (, liczbę początkową, przecinka, liczbę końcową i zamykającego nawiasu ] lub ). Przykłady poprawnych zapisów to: (4, 9.6), [-100, 100], [-30, -4), [3.3, 15) (jeżeli 15 ma być wyłączone). Rozumienie, czy końce są włączone, czy wyłączone, jest kluczowe przy sprawdzaniu przynależności konkretnej liczby do przedziału.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest przedział w matematyce?

P: Jak określić, które liczby są wewnątrz przedziału?

P: Czy zarówno liczba początkowa jak i końcowa muszą być zawarte w przedziale?

P: Jak się pisze przedział?

P: Czy może Pan podać przykłady przedziałów?

P: Czy liczby ujemne są dozwolone w przedziale?

Szukaj według litery