Metoda eliminacji Gaussa

W matematyce eliminacja gaussowska (zwana również redukcją rzędów) jest metodą stosowaną do rozwiązywania układów równań liniowych. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Carla Friedricha Gaussa, słynnego niemieckiego matematyka, który pisał o tej metodzie, ale jej nie wynalazł.

Aby przeprowadzić eliminację gaussowską, współczynniki terminów w układzie równań liniowych są wykorzystywane do utworzenia typu macierzy zwanej macierzą rozszerzoną. Następnie do uproszczenia macierzy wykorzystuje się operacje na wierszach elementarnych. Stosowane są trzy typy operacji wierszowych:

Typ 1: Przełączanie jednego rzędu z innym.

Typ 2: Mnożenie wiersza przez liczbę niezerową.

Typ 3: Dodawanie lub odejmowanie wiersza od innego wiersza.

Celem eliminacji Gaussian jest uzyskanie matrycy w formie rzędów-szelonów. Jeśli matryca jest w formie rząd-szelon, oznacza to, że czytanie od lewej do prawej, każdy rząd rozpocznie się od co najmniej jednego więcej zerowego semestru niż rząd powyżej niego. Niektóre definicje eliminacji gaussowskiej mówią, że wynik matrycy musi być w zredukowanej formie rząd-szelon. Oznacza to, że matryca jest w formie rząd-szelon i jedynym niezerowym terminem w każdym rzędzie jest 1. Eliminacja Gaussiana, która tworzy zredukowany wynik matrycy rząd-szelon jest czasami nazywana eliminacją Gaussa-Jordana.

Przykład

Załóżmy, że celem jest znalezienie odpowiedzi na ten układ równań liniowych.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\i1}Rozpocznij {\i0}2x&&\;+\i0};&&y&\i0};-\i0};&&z&&\i0;=\i0};&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Po pierwsze, system musi zostać przekształcony w matrycę rozszerzoną. W macierzy rozszerzonej, każde równanie liniowe staje się wierszem. Po jednej stronie macierzy powiększonej, współczynniki każdego z terminów w równaniu liniowym stają się liczbami w macierzy. Po drugiej stronie macierzy powiększonej znajdują się stałe terminy, którym każde równanie liniowe jest równe. Dla tego układu, macierz rozszerzona jest:

2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 {\i1} {\i1}styk stylistyczny {\i1}lewo{\i0}{\i1}pocznij{\i0}{\i1}2&1&-1&8 {\i1}-3&-1&2&-11 {\i1&2&-3 {\i1}zakończenie{\i0}prawda.{\i0} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Następnie, w celu uproszczenia, można wykonać operacje rządowe na matrycy rozszerzonej. Poniższa tabela przedstawia proces redukcji wierszy na układzie równań oraz na macierzy rozszerzonej.

Układ równań	Operacje rzędowe	Matryca rozszerzona
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\i1}Rozpocznij {\i0}2x&\i0};+\i0};&&y&\i0};-\i0};&&z&&\i0};=\i0};&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 {\i1} {\i1}styk stylistyczny {\i1}lewo{\i0}{\i1}pocznij{\i0}{\i1}2&1&-1&8 {\i1}-3&-1&2&-11 {\i1&2&-3 {\i1}zakończenie{\i0}prawda.{\i0} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\i1}styk stylistyczny {\i0}{\i1}2x&&\i0};+&&y&&\i0};-&&\i0};=\i0};&&8&\i0}&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&& 2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\i0}+{\i1}R_{\i1}R_{\i0}{\i1}R_{\i1}{\i1}R_{\i1}Krwawnik R_{\i0} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\i1} {\i1} {\i1}styk stylistyczny R_{3}+R_{1} {\i1}prosty R_{3} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 {\i1} {\i1}Styl stylistyczny {\i1}lewo{\i0}{\i1}pocznij{\i0}{\i1}{\i1}zakończenie{\i0}{\i1}prawda?{\i0} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\i1}styk stylistyczny {\i0}{\i1}zaczyna się {\i1}2x&\i0};+&&y\i0};&&-&&\i0};z\i0};&&==;&&8&\i0}&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\i1}+-4R_{\i0}\i1}\i1}\i1}\i1}R3 + - 4 R 2 → R3 {\i1}\i1} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 1 ] {\i1} {\i1}Styl stylistyczny {\i1}lewy{\i1}{\i1}początek {\i1}{\i1}cc}2&1&-1&8 {\i1}0&1/2&1/2&1\i1 {\i1}zakończenie {\i1}prawda?{\i0} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Matryca jest teraz w formie rzędów-szelonów. Jest ona również nazywana formą trójkątną.

Układ równań	Operacje rzędowe	Matryca rozszerzona
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\i1}styk stylistyczny {\i0}{\i1}2x&&\i0};+&&y\i0};&&&&\i0};\i0};&&=;&&7&\i0}&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\i1}+ {\i1}frac {\i1}{\i1}R_{3}\i1}rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\i1}R_{\i1}-R_{3}\i1} {\i1}R_{\i1}prosto R_{\i1} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 1 {\i1} {\i1}styk stylistyczny {\i1}lewo{\i0}{\i1}pocznij{\i0}{\i1}{\i1}pocznij{\i0}{\i1}{\i1}pocznij{\i0}{\i1}pocznij{\i0}{\i1}prosto} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\i1}- {\i1}- {\i1}2x&\i0};+&&y\i0};&&&&\i0};\i0};&&=;&&7&\i0}&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\i1} {\i1}Styl 2R_{\i0} {\i1}prosto R_{\i1} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ - R 3 {\i1}R 3 {\i1} {\i1}Styl sygnalizacyjny - R_{3} {\i1}prosty R_{\i1} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	2 1 0 7 0 1 0 1 0 3 0 0 1 - 1 {\i1} {\i1}styk stylistyczny {\i1}lewo{\i0}{\i1}{\i1}początek{\i0}{\i1}-{\i1}-{\i1} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\i1}x&&\i0}; &&\i0};&&&&\i0};\i0};&&=;&&2&\i0}&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\i1}R_{\i1}-R_{2}\i1} {\i1}R_{\i1}prosto R_{\i1}	1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1 {\i1} {\i1}Styl stylistyczny {\i1}lewo{\i0}{\i1}{\i1}początek{\i0}{\i1}cc&0&0&2}{\i1&0&3} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Matryca jest teraz w zredukowanej formie rzędowej-szelkowej. Odczytanie tej macierzy mówi nam, że rozwiązania dla tego układu równań występują gdy x = 2, y = 3, a z = -1.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest eliminacja gaussowska?

O: Eliminacja gaussowska to metoda stosowana w matematyce do rozwiązywania układów równań liniowych.

P: Od kogo pochodzi jej nazwa?

O: Nazwa pochodzi od Carla Friedricha Gaussa, słynnego niemieckiego matematyka, który pisał o tej metodzie, ale jej nie wynalazł.

P: W jaki sposób przeprowadzana jest eliminacja Gaussa?

O: Eliminacja Gaussa polega na wykorzystaniu współczynników wyrażeń w układzie równań liniowych do utworzenia macierzy rozszerzonej. Następnie elementarne operacje na wierszach są używane do uproszczenia macierzy.

P: Jakie są trzy rodzaje operacji na wierszach stosowane w eliminacji Gaussa?

O: Trzy typy operacji na wierszach stosowane w eliminacji Gaussa to: Zamiana jednego wiersza z innym wierszem, Mnożenie wiersza przez liczbę niezerową oraz Dodawanie lub odejmowanie wiersza od innego wiersza.

P: Jaki jest cel eliminacji Gaussa?

O: Celem eliminacji gaussowskiej jest uzyskanie macierzy w postaci rząd-echelon.

P: Co to jest postać rząd-echelon?

O: Jeśli macierz ma postać rząd-echelon, oznacza to, że czytając od lewej do prawej, każdy wiersz zaczyna się od co najmniej jednego wyrazu zerowego więcej niż wiersz nad nim.

P: Co to jest zredukowana postać rząd-echelon?

O: Zredukowana postać rząd-echelon oznacza, że macierz jest w postaci rząd-echelon, a jedynym niezerowym wyrazem w każdym wierszu jest 1. Eliminacja Gaussa, która tworzy zredukowaną macierz rząd-echelon, jest czasami nazywana eliminacją Gaussa-Jordana.