Zderzenie sprężyste

Jednowymiarowy Newtonowski

Rozważmy dwie cząstki oznaczone indeksami 1 i 2. Niech m1 i _{m2 będą} masami, u1 i u2 prędkościami przed zderzeniem, a v1 i v2 prędkościami po zderzeniu.

Wykorzystanie zasady zachowania pędu do napisania jednego wzoru

Ponieważ jest to zderzenie sprężyste, całkowity moment pędu przed zderzeniem jest taki sam jak całkowity moment pędu po zderzeniu. Biorąc pod uwagę, że moment pędu (p) oblicza się jako

p = m v {{displaystyle \u0026apos; \u0026apos; p=mv}

Możemy obliczyć, że pęd przed zderzeniem wynosi:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {{displaystyle}} m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}

a moment pędu po zderzeniu wynosi:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {{displaystyle}} m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Ustawienie tych dwóch równań daje nam pierwsze równanie:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {} m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Wykorzystanie zasady zachowania energii do napisania drugiego wzoru

Drugą zasadą, którą się posługujemy jest to, że całkowita energia kinetyczna pozostaje taka sama, co oznacza, że początkowa energia kinetyczna jest równa końcowej energii kinetycznej.

Wzór na energię kinetyczną to:

m v 2 2 {{displaystyle {{frac {mv^{2}}{2}}}

Zatem, używając tych samych zmiennych co poprzednio: Początkowa energia kinetyczna wynosi:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {{displaystyle { {{1}u_{1}^{2}}{2}}+{{{2}u_{2}^{2}}{2}}}}

Końcowa energia kinetyczna wynosi:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {{displaystyle {{frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{{frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}. }

Ustalenie, że obie są równe (ponieważ całkowita energia kinetyczna pozostaje taka sama):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . { {{displaystyle {{frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{{{2}u_{2}^{2}}{2}}}={{{1}v_{1}^{2}}{2}}+{{{{2}v_{2}^{2}}{2}}}. }

Składając te dwa równania razem

Równania te można rozwiązywać bezpośrednio, aby znaleźć _vi, gdy znane jest ui lub odwrotnie. Oto przykładowy problem, który można rozwiązać wykorzystując albo zasadę zachowania pędu, albo zasadę zachowania energii:

Na przykład:

Kula 1: masa = 3 kg, v = 4 m/s

Kula 2: masa = 5 kg, v = -6 m/s

Po kolizji:

Kula 1: v = -8,5 m/s

Kula 2: v = niewiadoma ( będziemy ją reprezentować przez v )

Wykorzystanie zachowania pędu:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v { {3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

Po wykonaniu mnożenia, a następnie odjęciu od obu stron 3 ∗ ( - 8,5 ) {tj. 3*(-8,5)} otrzymujemy:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {{displaystyle}} 12-30+25,5=5*v}

Sumowanie lewej strony, a następnie dzielenie przez 5 daje nam:

7,5 5 = v {displaystyle {frac {7,5}{5}}}=v} , a wykonanie końcowego dzielenia daje nam:   1,5 = v {frac {1,5=v}

Mogliśmy również rozwiązać ten problem wykorzystując zasadę zachowania energii:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 { {frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{}frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={{}frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{}frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}}.

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 { {frac {3*4^{2}}{2}}+{frac {5*(-6)^{2}}{2}}={frac {3(-8,5)^{2}}{2}+{frac {5v^{2}}{2}}}

Mnożąc obie strony przez 2, a następnie wykonując wszystkie wymagane mnożenia daje nam:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {{displaystyle}} 48+180=216,75+5v^{2}}

Dodając liczby po lewej stronie, odejmując od nich po obu stronach 216,75 i dzieląc przez 5 otrzymujemy:

  2,25 = v 2 {{displaystyle}} 2,25=v^{2}}

Biorąc pierwiastek kwadratowy z obu stron otrzymujemy odpowiedź v = ± 1,5 {przykład v= 1,5}. .

Niestety, nadal musielibyśmy korzystać z zasady zachowania pędu, aby dowiedzieć się, czy v {displaystyle v} jest dodatnie czy ujemne.