Dwumian Newtona

Wzory

Istnieją w zasadzie trzy wzory rozwinięcia dwumianowego:

Możemy wyjaśnić, dlaczego istnieją takie 3 wzory za pomocą prostego rozwinięcia iloczynu:

( a + b )2 = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {przyp. tłum. (a+b)^{2}}=(a+b)⋅ (a+b)=a+a+b+b=a^{2}+2przyp. tłum.

( a - b )2 = ( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 - 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {przyp. tłum. (a-b)^{2}=(a-b)⋅ (a-b)=a a - b - b - a+b - b=a^{2}-2 - a - b+b^{2}}}

( a + b )⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2 - b 2 {przykład (a+b)⋅ (a-b)=a ⋅ a-a ⋅ b+b ⋅ a-b ⋅ b=a^{2}-b^{2}}}

Użycie trójkąta Pascala

Jeśli n jest liczbą całkowitą ( n ∈ Z { {displaystyle n} w {Z} } ), to korzystamy z trójkąta Pascala.

Aby rozwinąć ( x + y ) 2 {{2}} :

• znajdź 2 rząd trójkąta Pascala (1, 2, 1)
• rozszerzamy x {{displaystyle x} i y {{displaystyle y}} tak, że moc x {{displaystyle x} spada o 1 za każdym razem od n {{displaystyle n} do 0, a moc y {{displaystyle y}} rośnie o 1 za każdym razem od 0 do n {{displaystyle n}}.
• razy liczby z trójkąta Pascala z odpowiednimi wyrażeniami.

Zatem ( x + y ) 2 = 1 x 2 y 0 + 2 x 1 y 1 + 1 x 0 y 2 {{}}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}.

Na przykład:

( 3 + 2 x ) 2 = 1 ⋅ 3 2 ⋅ ( 2 x ) 0 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ ( 2 x ) 1 + 1 ⋅ 3 0 ⋅ ( 2 x ) 2 = 9 + 12 x + 4 x 2 {\i1}(3+2x)^{2}=1\i3^{2}(2x)^{0}+2\i3^{1}(2x)^{1}+1\i3^{0}(2x)^{2}=9+12x+4x^{2}}

A więc co do zasady:

( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n - 1 y 1 + a 2 x n - 2 y 2 + ⋯ + a n - 1 x 1 y n - 1 + a n x 0 y n { {{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}}

gdzie a i {displaystyle a_{i}} jest liczbą w rzędzie n {displaystyle n} i na pozycji i {displaystyle i} w trójkącie Pascala.

Przykłady

( 5 + 3 x )3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( 3 x )0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( 3 x )1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( 3 x )2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( 3 x )3 {\i1}stylowe (5+3x)^{3}=1 ^{0}+3 ^{2} ^{1}+3 ^{1} ^{2}+1 ^{0} ^{0} ^{3}}

= 125 + 75 ⋅ 3 x + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ 27 x 3 = 125 + 225 x + 135 x 2 + 27 x 3 { {przykład =125+75 ⋅ 3x+15 ⋅ 9x^{2}+1 ⋅ 27x^{3}}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}}

( 5 - 3 x )3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( - 3 x )0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( - 3 x )1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( - 3 x )2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( - 3 x )3 { {przykład (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}

= 125 + 75 ⋅ ( - 3 x ) + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ ( - 27 x 3 ) = 125 - 223 x + 135 x 2 - 27 x 3 {przykład =125+75 ⋅ (-3x)+15 ⋅ 9x^{2}+1 ⋅ (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}

( 7 + 4 x 2 )5 = 1 ⋅ 7 5 ⋅ ( 4 x 2 ) 0 + 5 ⋅ 7 4 ⋅ ( 4 x 2 ) 1 + 10 ⋅ 7 3 ⋅ ( 4 x 2 ) 2 + 10 ⋅ 7 2 ⋅ ( 4 x 2 ) 3 + 5 ⋅ 7 1 ⋅ ( 4 x 2 ) 4 + 1 ⋅ 7 0 ⋅ ( 4 x 2 ) 5 {\i1}Stylowy (7+4x^{2})^{5}=1 ^{5} ^{2} ^{0}+5 ^{4} ^{2} ^{1}+10 ^{3} ^{3} ^{3} ^{2} (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}}

= 16807 + 12005 ⋅ 4 x 2 + 3430 ⋅ 16 x 4 + 490 ⋅ 64 x 6 + 35 ⋅ 256 x 8 + 1 ⋅ 1024 x 10 { {przykład =16807+12005 ⋅ 4x^{2}+3430 ⋅ 16x^{4}+490 ⋅ 64x^{6}+35 ⋅ 256x^{8}+1 ⋅ 1024x^{10}}

= 16807 + 48020 x 2 + 54880 x 4 + 31360 x 6 + 8960 x 8 + 1024 x 10 { { =16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}}